调和函数水平集的几何性质

Harmonic functions are among the most important and special functions. The study of them can usually provide us new views and techniques to understand the general elliptic partial differential equations. In this project, we mainly concern the local geometric properties of the level sets of harmonic functions, i.e. the geometric properties of a given level set of a harmonic function. We hope to solve the following three problems: (1) sharp upper bound estimates of the curvature at the origin of the level curve through the origin of a harmonic function on the unit disk; (2) upper bound estimates of the curvature at the origin of the level set through the origin of a harmonic function on the unit ball when the dimension >=3; (3) absolute upper bound estimates of the length of level curve through the origin of a harmonic function on the unit disk.

调和函数是一类非常重要而又相当特殊的函数，通过研究调和函数往往能够为理解一般的椭圆偏微分方程提供新的看法与技术。本项目主要关心调和函数水平集的局部几何性质，即调和函数的指定的某个水平集的几何性质。希望解决的关键科学问题是：（1）单位圆盘上调和函数过原点的水平线在原点处曲率的最佳上界估计；（2）维数>=3时单位球上调和函数过原点的水平集在原点处曲率的上界估计；（3）单位圆盘上调和函数过原点的水平线长度的绝对上界估计。

Laplace方程是最重要的椭圆型偏微分方程, 而调和函数作为Laplace方程的解, 无论在分析上, 还是几何上都有着基本的重要性. 本项目的主要研究内容是调和函数水平集的几何性质. 具体来说, 我们主要得到了下面几方面的结果: (1) 对于定义在二维Riemann空间形式环形区域上的调和函数, 得到了其水平线的曲率估计; (2) 考虑图上的Laplace-Beltrami算子, 这时图上的调和函数恰好是Riemann空间形式中的极小曲面方程的解, 同样也可以得到这时极小曲面水平线的曲率估计; (3) 对于n维欧氏空间中的凸区域上的1-Laplace算子, 简洁地证明了1-Torsion函数是凹函数; (4) 对于n为欧氏空间中环形区域上的1-调和函数, 证明了所有的水平集均为凸曲面; (5) 证明了凸区域上1-torsion函数的边界导数估计.