自仿集的几何性质研究

We will study the multifractal formulism of self-affine measure and the geometric properties of the set of its divergent points. ..First,we will focus on a class of self-affine sets named Baranski sets, which is the generalision of MuMullen set. We will give the fine multifractal spectrum formula. ..Second, the multifractal formulism is studying the properties of the set consisting of convergent points with respect to the self-affine measure. It is natural to ask what the set of divergent points is. Currently, this question has been researched for the self-similar case, and we will prove that the parallel results also hold for the self-affine case.

本项目主要研究自仿测度上的重分形分析和发散点的几何特征问题. .首先, 研究一类我们称为Baranski集的自仿集合(见[4]), 这是一类比McMulllen集更一般的自仿集, 我们将着重研究支撑在此集合上的测度的性质, 特别是测度的重分形谱的计算公式..其次，重分形分析是研究收敛点的性质。那么在自仿集的情况下, 发散点又具有什么样的性质, 就是我们关心的另外一个问题. 由于发散点几何性质较为复杂, 我们将从基本的自仿集合着手研究. 现在, 关于对发散点问题的研究主要集中在自相似的情形下，因此，作为比自相似集更为广泛的集合, 自仿情形下的发散点特征的研究就很自然变得很重要.我们从维数角度给出此集合的大小。

本项目研究了自仿集的几何性质。我们主要研究了以下方面：首先，我们研究了cut-out集上的发散点，我们给出了发散点集的大小估计；然后我们研究了McMullen集上的Lipschitz等价问题，给出了McMullen集合Lipschitz等价的充分条件；我们又研究了定义在Heisenberg群上的自仿集的自仿测度的L_q谱的性质，给出了Heisenberg群上的自仿集的自仿测度的L_q谱的公式。