一类随机偏微分方程解的存在唯一性和渐近性质

The main aim of this project is to study the existence,uniqueness and asymptotic properties of solutions for a class of stochastic partial differential equations. Those equations include many fundamental SPDE examples in the fields of mathematical physics,fluid dynamics and biology etc, hence it is quite important not only in theoretical sense, but also has broad background in the applied science. We will use the variational approach to analyze these type of SPDEs and obtain the existence and uniqueness of strong solutions under the local monotonicity and weak/generalized coercivity conditions. We will use the gradient estimate and coupling method to establish the Harnack inequality for the corresponding transition semigroups and derive some further ergodic properties. We will also use the weak convergence approach to establish the large deviation principle for a large class of SPDE with locally monotone coefficients driven by small multiplicative noise, meanwhile, we will study the existence of random attractors for SPDE with locally monotone coefficients.

本项目主要研究一类具有单调或局部单调系数的随机偏微分方程解的存在唯一性以及各种渐近性质。这一类方程包含了很多在数学物理、流体力学和生物学等领域有着重要应用的随机偏微分方程模型，不仅具有重要的理论意义，同时也具有广泛的应用背景。我们将使用变分方法分析和研究这一类随机偏微分方程，在假设局部单调性条件和弱化的强迫性条件下证明方程强解的存在唯一性。我们将运用梯度估计和耦合等方法证明方程对应的转移半群满足Harnack 不等式，并在此基础上得到转移半群的各种遍历性质。我们将使用弱收敛方法研究具有局部单调系数的随机偏微分方程的大偏差性质，同时我们也将研究带局部单调系数的随机偏微分方程的随机吸引子的存在性问题。

随机偏微分方程理论及其应用是概率论的热门研究方向之一。该领域不仅涉及经典偏微分方程和概率论(特别是随机分析)的交叉研究，同时与其他数学分支(如动力系统、几何分析等)也有着紧密的联系。本项目主要研究一类具有单调或局部单调系数的随机偏微分方程解的存在唯一性以及各种渐近性质。我们系统研究了若干数学物理和流体力学等领域具有重要应用背景的随机偏微分方程模型的适定性理论和各种渐近性质，建立了一个可以分析和研究一大类半线性和拟线性随机偏微分方程的统一框架，并在此过程中发展了新的研究方法和技巧。同时，通过深入研究这些随机偏微分方程模型解的多种渐近性质，揭示了相关流体力学模型的时空演化性质。.（1）我们通过引入一类广义的强迫性条件和放宽局部单调性条件，得到了涵盖一大类SPDE强解存在唯一性或局部存在唯一性的一般框架。.（2）我们引入一类Lyapunov型条件代替经典的强迫性条件，在此基础上结合局部单调性条件证明了一类SPDE解的存在唯一性，同时还得到了一些经典SPDE解的新的正则性估计。.（3）我们将局部单调条件下Wiener噪声驱动SPDE强解的存在唯一性结果推广到一般Levy噪声的情形。这一结果可以直接应用到流体力学和数学物理等领域一大类随机偏微分方程模型。.（4）我们利用Yosida逼近等技巧证明了一类Levy噪音驱动的多值随机偏微分方程强解的存在唯一性结果，并且得到了逼近方程解到原方程解的强收敛结果。.（5）我们运用布朗运动泛函的变分公式和弱收敛方法，研究了一类随机quasi-geostrophic方程的小噪音和短时间的大偏差性质。这一类方程在地球物理和流体动力学等领域有着非常重要的应用。.（6）我们运用渐近紧性等方法证明了带局部单调系数SPDE对应随机动力系统随机吸引子的存在唯一性。.本研究项目执行期间，我和Michael Roeckner合作出版了一本随机偏微分方程方面的英文专著，本书系统介绍了随机偏微分方程的经典变分方法和相关最新研究进展。