一类四阶退化偏微分方程解的非负性和唯一性研究

The project is concerned with some front theoretical problems of the thin film equation appearing in the lubrication theory for thin viscous films. By using the theory of partial differential equations, geometric measure theory, nonlinear functional analysis and approximation theory, weighted function space and geometric analysis, we intend to study the (almost everywhere) positivity and nonnegative preserving properties of solutions to the Neumann initial boundary value problem for the thin film equation. Furthermore, the Hausdorff dimension and geometric structure of the rupture sets of solutions are discussed. Finally we will try to investigate the topic on the uniqueness of solutions in dimensional one, including the existence and uniqueness of classical solutions to the free boundary problem with prescribed (non-zero) contact angle. The research is difficult and full of challenges due to the nonlinearity, degeneracy of the problem and especially the non-applicability of maximum principles. Making a deep study of the project not only helps us understand the model in greater depth, but also will enrich and develop the theory of partial differential equations, especially higher order degenerate parabolic equations.

本项目拟深入研究描述固体表面上流体流动或液滴扩散的四阶薄膜方程理论方面的若干前沿问题。应用偏微分方程的基本理论、非线性泛函分析、几何测度论、逼近和加权的函数空间理论以及几何分析的思想和方法，研究薄膜方程的 Neumann 初边值问题解的（几乎处处）正性和非负性保持性质，并讨论解的消失现象，给出解的消失集的 Hausdorff 维数估计和几何结构。此外，研究一维情形下 Neumann 初边值问题解的唯一性和给定特殊接触角的自由边界问题古典解的存在唯一性。课题的研究具有挑战性，这是因为极值原理对所讨论的问题不成立，并且有实际背景的薄膜方程是非线性的且具有退化性，需要探索和寻求新的研究方法和工具。深入开展本项目的研究，能帮助人们进一步理解模型的本质，给实际问题的研究起到重要的指导作用，也可丰富高阶偏微分方程及退化抛物方程的理论。

本项目主要研究了几类非线性偏微分方程（PDE）理论方面的若干问题。经过近三年的科学研究，在项目组成员的共同努力下，预期目标已基本达到，共发表科研论文7篇。项目应用偏微分方程的基本理论、非线性泛函分析和几何测度论等知识，研究了四阶薄膜方程以及四阶椭圆方程零点集的Hausdorff维数估计、一类四阶非线性图像去噪PDE模型解的熵耗散估计、双曲空间中的半线性抛物方程的Harnack估计、半直线上完全可压缩Navier-Stokes 方程初边值问题解的大时间行为和Boltzmann方程解的存在性和渐近行为。由于项目所研究的对象都是具有实际背景的方程和模型，因此项目所得的研究成果，能给实际问题的解决和相关研究起到重要的指导作用，同时也丰富了偏微分方程特别是高阶PDE及退化抛物方程的理论体系，具有非常重要的意义。