裂缝介质地下水的不同维数耦合模型的数值方法研究

In recent years, an asymptotic model in different dimension regions has become a hot topic in studying groundwater flow process in fractured media aquifer system. Anisotropic and multi-scale coupling properties of the asymptotic model can match the physical characteristics of the groundwater flow problem, but bring some challenges to solve it. This project constructs coupled numerical scheme in different dimension regions to solve this asymptotic model, study the stability, compatibility, existence and uniqueness of numerical solution, and deduce priori error estimates. Besides, numerical examples are presented for the cases of single and intersecting fractures. In particular, some details are given as follows. Based on the locations of the fractures and the singular points, the anisotropic mesh is constructed to match the intrinsic anisotropy of the coupled model. A novel anisotropic element is proposed to adapt the inherent characteristics of the solution of the coupled model, which is continuous along the fracture and discontinuous in the other direction. Due to the multi-scale property of coupled model, different dimensional methods are employed such as block-centered finite difference method and mixed discontinuous finite element method. The two-grid method is improved and used to solve the coupled system of equations. The above studies provide a theoretical basis for the simulation of groundwater flow process in fractured media system, and lay a solid foundation for further study of groundwater pollution problem.

近年来，空间维数不同的耦合模型已经成为研究裂缝介质地下水流动问题的一个新颖的数学模型。模型本身所具有的各向异性、多尺度、耦合等特点虽然可以更好地描述地下水流动问题的物理特性，但也给模型的求解带来一些挑战。本项目将深入研究该不同维数耦合模型，构造相应的数值格式，研究其稳定性、相容性、解的存在唯一性和误差的先验估计，设计数值算例对单一、分叉、交叉的裂缝进行分析。针对该模型各向异性的特点，根据裂缝和奇点所在位置构造各向异性网格。鉴于该耦合模型的解具有沿着裂缝走向连续和垂直裂缝走向间断的特点，构造一种新型的局部方向间断的各向异性非协调元。由于耦合模型具有多尺度的特点，拟采用不同维数的块中心有限差分法或混合间断有限元法。改进二重网格法并用来求解离散耦合模型产生的大型非线性耦合方程组。以上的研究为模拟裂缝介质地下水的流动过程提供理论依据，为下一步研究地下水污染问题奠定基础。

裂缝属于岩溶介质次生空隙结构，占总空隙的主要部分。它们不仅是地下水的赋存空间，也是环境污染现象的发生场所。考虑到裂缝的宽度或厚度比周围介质小很多，因此本项目对裂缝中的流动方程进行降维处理，形成了不同维数的耦合模型，并使用数值模拟的方法研究此类裂缝介质中的地下水流动特性，其成果将为地下水流动的仿真模拟提供理论依据，对进一步研究地下水中的污染物运移和污染防治问题起到推动作用。.基于新型非协调元的局部间断和各向异性的特点、二重网格法的解耦和线性化的优势、块中心差分法可以同时得到压力和速度最优阶误差估计的优点等，我们构造了不同的数值格式。采用合适的网格剖分方式和数值算法求解了1D-2D和2D-3D耦合模型，证明了解的存在唯一性，格式的稳定性、相容性，得到了最优阶先验估计。我们将不可压缩地下水流动方程的数值方法推广到微可压缩地下水流动方程中，并设计了自由度最少的数值格式。借鉴达西-达西不同维数耦合模型，结合质量守恒的边界条件和积分平均方法，我们建立了达西-非达西和非达西-非达西等不同维数耦合模型。在上述模型中，我们给出了裂缝介质地下水流动过程的数值模拟，研究了裂缝在地下水流动中的快速通道或地质屏障的作用，设计了算例验证数值方法的有效性和收敛阶。