一类拟线性椭圆方程解的存在性及其性质研究

本项目主要研究一类具有物理背景的拟线性薛定谔方程的驻波解，这类问题的研究可以转化为研究一类拟线性椭圆方程的解。此类拟线性椭圆方程所对应的泛函在通常的Sobolev空间中无定义，通过变量代换，可以将其转化成半线性椭圆方程。但是由于变换的非线性性和位势函数的存在，通常的变分法不能直接应用。对此类拟线性椭圆方程现有的研究主要是针对次临界增长时正解的存在性和稳定性，以及临界指数增长时位势函数和含临界指数项系数满足某些条件下非平凡解的存在性。本项目拟使用变分法及Orlicz空间理论，在非线性项含临界指数情形，结合集中紧原理和Ekeland变分原理等，研究将位势函数和含临界指数项系数满足的条件减弱时方程非平凡解与多解的存在性，系数与解的关系，系数变号时解的存在性等相关问题；对次临界增长问题，结合dual方法、扰动理论和集中紧原理等研究相应问题束缚态解的存在性和集中性，进一步研究多峰解的存在性等。

本项目主要研究了一类具有物理背景的拟线性薛定谔方程驻波解的存在性以及稳定性等。具体内容包括：1、当非线性满足次临界条件情形，利用临界点理论，在不满足超二次型条件下，得到了一定条件下非平凡解的存在性；2、当非线性满足次临界条件情形，利用罚函数和局部山路引理的方法，得到了多峰解的存在性； 3、当非线性项同时含有临界Sobolev指数和临界Sobolev-Hardy指数时，得到方程非平凡解的存在性，而后将该结果推广到更一般的含多重临界指数p-Laplace情形；4、当非线性项含有临界Sobolev指数且方程含有Hardy项时，利用非线性泛函分析的方法，得到了方程正解的存在性；5、为了进一步得到方程驻波解的性质，例如适定性和驻波解的稳定性等，从而加深对方程本身结构的理解，项目主持者与合作者共同研究了Novikov方程和Camassa-Holm方程适定性以及整体解的存在性等一系列结果。6、考虑了次临界情形下的Schrodinger方程组，利用Compactness-Concentration原理，分别得到不同约束条件下极小解的存在性和稳定性结果。