一类非线性偏微分方程解的存在性问题

The Special Lagrangian equation is an important class of fully nonlinear partial differential equations, because it arises from problems in geometry and theoretical physics. This project studies the existence of classical solutions to such equations from three parts. First, we study the Dirichlet problem of the Special Lagrangian equation with the critical phase on the bounded region of complex Euclidean space. In the second part, we focus on the existence of solutions to the Special Lagrangian equations on compact Kahler manifolds. Finally, we will consider the existence problems of solutions to such equations on general compact Hermitian manifolds. We hope to develop new techniques for establishing a priori estimates, and obtain the existence results of smooth solutions to such equations in the above three cases.

Special Lagrangian方程是一类重要的完全非线性偏微分方程，这是因为它来源于几何以及理论物理研究中的问题。本项目从三个部分研究这类方程经典解的存在性问题。首先，我们研究复欧式空间有界区域上临界相位情形的Special Lagrangian方程的Dirichlet问题。在第二部分，我们着重研究紧Kahler流形上的Special Lagrangian方程解的存在性问题。最后，我们将考虑一般紧Hermitian流形上这类方程解的存在性问题。我们希望进一步发展先验估计的新技巧，得到以上三种情形下经典解的存在性结果。

Special Lagrangian 方程以及相关的 Hessian 型方程是重要的完全非线性椭圆方程，它们来源于许多重要的几何问题。在本项目中，我们首先研究了一类新的形变的Hermitian Yang-Mills 流。如果初始函数满足超临界条件，我们证明了该流有长时间解；如果再假设存在下解以及下解满足超临界条件，那么形变的Hermitian Yang-Mills 流按指数收敛到一个光滑函数，该函数满足形变的 Hermitian Yang-Mills 方程。作为应用，在次下解条件时，我们考虑了二维情形的形变的Hermitian Yang-Mills 流。在第二部分我们研究了紧Hermitian流形上的退化 k-Hessian 方程的最佳正则性问题。我们证明了如果方程右端函数的 k-1 分之是一阶可导且导数是Lipschitz时，k-Hesisan方程的解具有一致的 Laplace 估计，从而解的导数是Holder连续的。在第三部分，我们研究了复欧氏空间上的齐次k-Hessian方程的Dirichlet外问题。当边界是严格拟凸时，我们证明了齐次 k-Hessian 方程的Dirichlet外问题的解的存在性和一致衰减估计。最后，我们研究了 Hessian 商方程的超定问题。我们证明了Hessian商方程的超定问题的解一定是径向的并且区域一定是球。