关于分数阶微分方程谱问题的研究

In this project, a class of spectral problems of fractional differential equations will be studied. This kind of problems arises from physical models of non-local continuum mechanics and some complex anomalous diffusion phenomena. The combination of fractional calculus and operator theories will be used in this project, supplemented by the theory of operator perturbations, the spectral theory of operators and the theory of complex functions. The double spectral parameters method, fractional operator integral transforms and the special function method will be applied to discuss some basic problems of the spectral theory of fractional differential equations, including the existence of real eigenvalues, the number of eigenvalues, the bounds of eigenvalues, and the asymptotic formula of eigenvalues. The project will also focus on the analysis of continuous dependence of eigenvalues on the fractional derivatives and the coefficient functions, the completeness and orthogonality of eigenfunction, etc. The results will further improve and develop the fractional calculus theory and the spectral theory of fractional differential equations. This project will also provide theoretical support for non-local continuum mechanics and anomalous diffusion phenomena.

本项目将研究一类分数阶微分方程的谱问题，该问题来自于大量的非局部连续力学及一些复杂的反常扩散现象的数学物理模型。本项目将采用分数阶微积分理论和算子理论相结合，算子扰动理论、算子谱理论和复变函数理论相补充的策略，利用双谱参数法，分数阶算子的积分变换和特殊函数法等讨论分数阶微分方程谱理论的基本问题，包括特征值的存在性和实值性、特征值个数的可数性、特征值的半有界性及重数、渐进分布公式、特征函数的正交完备性等；分析特征值关于分数阶导数和系数函数的连续依赖性、分数阶微分方程的谱与整数阶微分方程的谱之间的关系等一系列重要的理论问题。其结果将进一步促进分数阶微积分理论和分数阶微分方程谱理论的完善和发展。本项目的研究也可以为非局部连续力学和反常扩散现象提供新的理论支持。

近年来分数阶微分积分模型因其较好的解决了传统的整数阶模型与实验不能吻合的问题，因此基于分数阶导数的分数阶微分方程及其产生的谱问题受到越来越多的研究关注，并被广泛应用于量子力学、非局部连续力学等实际问题中。. 本项目采用分数阶微积分理论和算子理论相结合、算子扰动理论、算子谱理论和复变函数理论相补充的策略，利用格林函数法，分数阶算子的积分变换等研究分数阶微分方程谱理论的基本问题及与其相关的几个数学问题。到目前为止，项目组在Journal of Differential Equations，Journal of Mathematical Physics， Applied Mathematics Letters，Journal of Mathematical Analysis and Applications等国际杂志共发表了SCI收录学术论文9篇，本项目部分重要研究成果概述如下：研究了一类非局部Sturm–Liouville在不同初值条件下，解的唯一性问题，然后基于这些理论结果，讨论了带狄利克雷边条件的非局部Sturm–Liouville特征值问题的特征值的几何重数；研究了带Riesz空间分数阶导数的非线性Schrödinger方程的拟周期解的存在性问题。通过把分数阶Schrödinger方程转化为哈密顿系统，利用Kuksi-Pöschel的Cantor流形定理，借助于KAM(Kolmogorov-Arnold-Moser)技巧，证明了此问题存在大量的拟周期解；研究了周期边条件下带有限光滑的关于时间是拟周期的势函数的波方程的约化问题，得到对应的波算子存在纯点谱，Lyapunov指数为零；研究了几类来源于物理模型中的大型方程组的非线性矩阵方程，利用矩阵函数的积分表示法和Kronecker积的性质，讨论了方程存在唯一Hermite正定解的条件，得到了解的相关性质，并用数值例子验证了我们的理论结果。. 本项目的相关结论完善了分数阶微分方程谱理论的研究，得到了部分研究分数阶微分方程谱问题的新工具和新方法，同时完善了分数阶微积分的基本性质，进一步拓广了KAM理论在分数阶微分方程中的应用，促进了KAM理论、微分方程谱理论与分数阶微积分理论的交叉和发展。