一类非标准增长完全非线性抛物方程的定性问题及其应用

本项目旨在研究一类具非标准增长完全非线性抛物方程的定性问题及其在图像恢复中的应用。我们着重探讨非标准增长指数对解的渐近性的影响，包括带非线性内部源和边界源情形方程解的有限时刻爆破、熄灭、淬火行为。接下来，我们研究该类方程在图像恢复中的应用，针对不同的噪音类型（加性噪声和乘性噪声）和图像的局部几何特征（平面特征和仿射特征），通过自适应地选择扩散机制和扩散系数，在去除噪音的同时有效保护图像几何边界。本项目研究的方程的完全非线性性，非标准增长以及多重退化性和奇异性给我们的研究带来了本质性的困难，需要我们借鉴经典理论的同时探索新的研究思路和方法。本项目的研究不仅能为仿射区域的图像恢复问题提供新的思路，其研究方法和结果也在一定程度上丰富和完善偏微分方程的理论。

本项目研究的是一类具非标准增长的完全非线性抛物方程的定性理论及其在图像恢复中的应用. 本项目的研究内容主要包括以下两个方面：(1)完全非线性抛物方程的定性理论. 我们针对具权重的对偶多孔介质方程，在非线性半群理论的框架下证明了积分解的适定性，并将这一结果推广到具非标准增长指数的情形。同时，我们还研究了一类完全非线性椭圆-抛物方程解的爆破和整体存在指标，给出了解的渐近行为的一个完整刻画。(2)具非标准增长指数的完全非线性抛物方程在图像恢复中的应用。非标准增长指数使得我们的模型在图像的不同区域采用不同的扩散机理。我们传统意义的边界定义为一阶边界，将仿射区域的边界定义为二阶边界。数值实验表明，用二阶导数控制扩散速度，能有效保持“坡”信息，避免阶梯效应。本项目的研究不仅为仿射区域的图像恢复问题提供新的思路，其研究方法和结果也在一定程度上丰富和完善了偏微分方程理论。