高维非自治非线性动力系统周期解分岔的研究及应用

The bifurcation theory of periodic solutions for high dimensional nonautonomous nonlinear system has been widely used in the engineering fields of mechanism, electric power and aerospace. The study of the project is significant for analyzing the complex dynamical behaviors of the nonlinear system and preventing the disasters which were caused by the icing high-voltage transmission lines. The main contents are as follows: (1) The project will put forward a new classification of high dimensional nonautonomous nonlinear dynamic system, reveal the conditions which can lead to bifurcation of periodic solutions and make an intuitive description of the geometric structure and characteristics of the bifurcation for the system. (2) The project will research the hypernormal form of the high dimensional nonlinear system which has symmetrical structure. (3) The project will research the nonlinear vibration problems of icing cable model for high-voltage transmission lines with external excitation and intrinsic excitation, reveal the mechanism which causes the instability of the system. The project will focus on solving the bifurcation of periodic solutions of high dimensional nonautonomous nonlinear system needed in the mentioned problems and the unsettled theoretical and computational problems in the fields of high dimensional nonautonomous nonlinear dynamic system, providing several methods for the application of nonlinear dynamics to solve practical engineering problems.

高维非自治非线性动力系统周期解分岔理论广泛应用于机械、电力和航天航空等工程领域。本项目的研究对于深入分析非线性系统的复杂动力学行为以及预防高压输电线覆冰灾害意义重大。主要研究内容包括：(1) 提出高维非自治非线性动力系统新的分类方法，理论揭示系统产生周期解分岔的条件、分岔特点与几何结构的直观描述；(2) 研究具有对称形式的高维非线性系统的超规范形(Hypernormal Form)；(3) 研究高压输电线覆冰悬索模型在外激励与内激励联合作用下的非线性振动问题，揭示系统失稳的产生机理。本项目重点解决在上述研究中所需要的高维非自治非线性动力系统周期解分岔以及覆冰悬索模型非线性振动等尚待解决的理论与计算问题，为应用非线性动力学解决工程实际问题提供研究方法。

高维非线性动力系统周期解分岔的研究及应用是非线性科学的重要分支，也是国际动力学领域的前沿问题和科研难题，对研究非线性动力系统的分岔与混沌现象具有重要的理论意义和应用价值。.(1) 基于高维非线性动力系统的周期解分岔理论，综合考虑系统周期解的存在性、个数、参数控制与几何描述等关键科学问题，应用发展的Melnikov函数、平均方法、Poincare映射方法等研究了几类非线性Hamilton-细焦点耦合系统、非自治快慢系统(混合非自治)、非线性时滞捕食模型的周期解分岔问题；研究了Z2-等变5次非线性Hamilton系统的极限环与非线性发展方程的行波解问题，并针对系统稳定与不稳定流形的几何结构进行直观描述。.(2) 在规范形研究中，首次提出分块矩阵的新记号，给出了一种处理大尺寸分块矩阵运算的新方法，这是该领域中有意义乃至突破性的创新工作。运用新次数函数、首次积分与多重李括号相结合的方法获得几类具有对称性的高维幂零非线性动力系统的超规范形(最简规范形、惟一规范形)，完善并发展了由Baider, Sanders和KOW等提出的规范形进一步简化理论。.(3) 将高维非线性动力系统的周期解分岔理论应用于实际工程模型的简化及非线性动力学分析，重点分析了风振作用下高压输电线覆冰悬索模型、参数激励与外激励联合作用下覆冰悬索模型、受横向和面内载荷联合作用下蜂窝夹层板等模型的非线性动力学特性，获得周期解的存在性判据、稳定性及其相图构型，揭示由各种参数及复杂非线性因素导致系统失稳的产生机理，为相应工程系统的减振控制与动态优化设计提供有价值的理论指导。.本项目的研究工作按照预定计划圆满完成，达到研究目标，取得了较丰硕的成果。共完成及发表论文55篇，其中SCI论文11篇、EI论文7篇、CSSCI论文1篇。完成及出版专著4部，发表专利2项。培养博士研究生7人，硕士研究生16人，访问学者1人，留学生1人。项目负责人李静入选2017年北京市“高创计划”。