具有薄壳结构的耦合偏微分系统反馈镇定性与能控性

Control problems of the coupled PDEs are hot issues on the research field of distributed parameter system. Thin shells often appear in the field of engineering and technology. The coupled PDEs with a thin shell has a broad application space and the study of its control has theoretical value and practical significant.. In this project, the variable-coefficient structural acoustic model with a thin shell is considered in more detail. This model describes the vibro-acoustic coupling phenomenon which occurs in the acoustic chamber with the flexible wall and inhomogeneous medium. The study of structural acoustic model is more considered in the constant-coefficient models with flat flexible wall. However, by using the thin shell displacement equation to model the bending structural vibration in the Differential geometry framework, the research of the structural acoustic model with variable-coefficient properties in the acoustic chamber has not be seen in related literature. This project is devoted to study boundary feedback stabilization of this kind of the coupled PDEs with a thermoelastic shallow shell/ Naghdi’s shell model. And exact controllability of this kind of the coupled PDEs with a shallow shell model is also studied by taking boundary/ distributed controls. Basing on the Riemannian geometry method, combining with the methods in the control research, energy uniform decay rates and exact controllability of the coupled PDEs with thin shells will be obtained. The effects of coupling on dynamic performance of systems will be revealed. The corresponding results will enrich the mathematical control theory of the coupled PDEs and will provide theoretical guidance for the corresponding technical problems.

耦合PDEs系统控制问题是分布参数系统研究领域热点问题。薄壳常出现在工程技术领域，具有薄壳结构的耦合PDEs系统有广阔应用空间，对其控制研究有理论价值和现实意义。. 本项目具体研究具有薄壳结构的变系数结构声学模型，它刻画了在具有弯曲弹性壁面和不均匀介质声腔中的声固耦合现象。目前此类模型研究多见于具有平坦弹性壁面的常系数模型，而在微分几何框架下用薄壳位移方程刻画弯曲结构振动，研究声腔内还具有变系数属性的结构声学模型未见报道。本项目研究具有热弹性浅壳/Naghdi壳模型的此类耦合系统边界反馈镇定性及具有浅壳模型的此类耦合系统在边界/分布控制下的能控性。基于黎曼几何方法，结合控制研究方法本项目将获得具有各类薄壳结构的耦合PDEs系统能量一致衰减率和精确能控性，揭示各耦合结构对系统动态性能的影响机制。相关结果将丰富耦合PDEs系统数学控制理论，为相应技术问题提供理论指导。

在实际工程问题中，结构声学模型中的声腔弹性壁面更广泛地采用弯曲的薄壳结构，而非平坦的薄板结构。本项目在微分几何框架下，使用黎曼流形上薄壳的位移方程来刻画声腔弹性壁面的弯曲结构振动，这在相关研究中还鲜有见到。本项目主要围绕此类具有薄壳结构的变系数耦合PDEs系统的控制问题展开研究，取得了下述研究结果：(1) 研究了一类具有薄壳模型的变系数结构声学系统的边界反馈镇定性，使用半群理论和黎曼几何方法获得了该耦合PDEs系统解的适定性和相应能量的一致衰减估计；(2) 在具有弯曲薄壳结构的声腔中，研究了变系数结构声学系统在热效应作用下的稳定问题。利用热的耗散性，通过施加部分边界阻尼实现了各耦合PDEs系统的稳定性，分别获得了相应系统解的适定性及其能量的一致衰减率；(3) 研究了一类具有薄壳模型的变系数结构声学系统的精确能控问题。在薄壳模型的局部分布控制和波动系统的边界控制共同作用下，证明了该耦合PDEs系统的精确能控性；此外，本项目还研究了具有非局部反应声学边界条件的耦合PDEs系统在内部时滞/边界时滞扰动下的稳定性，使用半群理论和黎曼度量下的乘子技巧分别获得了相应系统解的适定性及其能量的一致衰减率。. 在微分几何框架下，引入薄壳位移方程来克服声腔弹性壁面的弯曲性，为结构声学模型的研究开辟了新思路，相关控制研究推动了声固耦合问题研究的理论发展和实践应用。同时，使用黎曼几何方法，在耦合PDEs系统中引入结构复杂的薄壳模型，对其控制问题的研究也丰富了耦合PDEs系统数学控制理论。