具有局部耗散和时滞的变系数结构声学模型的能量衰减问题

The propagation of sound waves in inhomogeneous medium can be characterized by a structural acoustic model with variable coefficients. Such model is related to noise control and suppression in practical applications, and its research is a hotpot on the research field of distributed parameter system control theory.. The study of energy decay for a wave equation with acoustic boundary conditions is more considered in the constant -coefficient system. In recent years, the related research in the variable-coefficient system has also made some progress. However, no matter in the situation of constant coefficients or variable coefficients, the research of the structural acoustic problem with a local dissipation has not be seen in related literatures. In this project, a nonlinear localized dissipation will be introduced to the study of the structural acoustic model with variable coefficients. This project is devoted to study the existence and stability of the global solution of a variable-coefficient wave equation with acoustic boundary conditions by ideas and methods of the control theory. In this system a localized dissipation, a delay and a nonlinear perturbation exist in the interior of the region.The Riemannian geometry method will be applied to deal with the variable coefficients. Combining with the traditional research methods of control problems for distributed parameter systems, the energy decay estimate of a nonlinear wave system with variable coefficients will be eventually achieved, which will promote the development of the theory and practical application for the research of the structural acoustic problem.

具有变系数主部的结构声学模型能够刻画声波在不均匀媒质中的传播行为，实际应用中多用于噪音控制和抑制问题的研究，是当今分布参数系统控制理论研究领域的研究热点之一。. 有关具有声学边界条件的波方程能量衰减问题的研究多见于常系数系统，近几年在变系数系统中也取得了一些进展。然而，无论在常系数还是变系数情形下，对具有局部耗散的结构声学问题的研究还未见有相关文献的报道。本项目计划将非线性局部耗散引入到变系数结构声学模型的研究中，使用控制理论的思想和方法研究一类具有声学边界条件的变系数波方程全局解的存在性和稳定性，其中在区域内部该系统具有局部耗散、时滞以及非线性扰动。主要使用黎曼几何方法来克服变系数主部带来的困难，结合分布参数系统控制问题的传统研究方法，本项目将最终获得一类非线性变系数波动系统的能量衰减估计，推动结构声学问题研究的理论发展和实践应用。

对广泛用于噪音控制问题研究的结构声学模型镇定性的探索一直以来是数学、物理、系统与控制等多个领域的研究热点。黎曼流形上的变系数结构声学模型不仅能够反映各类介质的不均匀性，而且还可以刻画声腔弹性壁面的弯曲性，因此能更准确地描述现实环境中的声学现象。然而目前有关此类问题的研究还比较少，尤其是声腔弹性壁面是弯曲的情形还未见有文献报道，本项目则围绕这类变系数模型研究了以下三个方面的问题：（1）研究了一类内部反馈中具有局部非线性耗散和时滞的变系数弹性系统解的存在性和能量衰减性。通过使用Galerkin方法和黎曼几何方法分别获得了该变系数时滞系统全局解的存在性和能量的一致衰减率；（2）研究了一类具有多孔声学边界条件和非线性干扰的变系数波方程的能量衰减问题，获得了该非线性变系数系统能量的一般衰减率；（3）在黎曼流形上研究了具有弯曲弹性壁面和时滞效应的非线性变系数结构声学模型的镇定问题。结合使用黎曼几何方法和分布参数系统控制理论的相关研究方法，获得了该变系数耦合系统能量的一致衰减估计。. 本项目的研究不仅达到了预期研究目标，而且还获得了比预期目标更好、更多的研究结果。项目的研究推动了结构声学问题研究的理论发展和实践应用，为此类相关问题的研究开辟了新思路。项目执行过程中共发表期刊论文 2 篇（其中 SCI 2 区论文 1 篇），1 篇论文正在审稿中，参加学术会议 1 次。