线性控制系统的线性、微分和拓扑分类问题

Inspired by the classification method of ordinary differential equations, this project will present a unified treatment on the linear, differentiable and topological classification problems based on the smooth property of the equivalence transformation. This project will study the classification problems of linear control systems, including time varying systems, generalized systems, systems with observation and infinite dimensional systems, and will also determine all principle invariants. We will combine some mathematical tools, such as algebra, geometry and functional analysis to treat our classification problems.

本项目希望借鉴动力系统的分类途径与思路，依据等价变换最基本的分析学性质- - 光滑性质，在统一框架下去研究线性控制系统的线性分类问题、微分分类问题以及拓扑分类问题。本项目拟对比较一般的线性控制系统，包括时变系统、广义系统、带观测的定常系统以及无限维系统，分别研究线性、微分、拓扑三种分类问题，并且揭示哪些量或性质在等价变换下保持不变。我们将综合运用代数、几何及泛函分析工具，通过从有限维系统到无限维系统的逐步研究，发展出一套关于线性控制系统分类问题的分析方法。

如果能够对控制系统进行合理有效的分类，那么研究某个复杂系统控制方面的性质，就转化为讨论其所属等价类中最特殊最简单系统（称之为标准型）的相应性质。而且，分类结果也有助于其它相关控制问题的研究，比如干扰解耦、极点配置等。. 控制系统根据数学模型的不同，分为两种：由常微分方程描写的有限维控制系统和由偏微分方程支配的无限维控制系统。本项目将有限维线性控制系统作为主要研究对象，讨论它们的线性、微分和拓扑这三种分类问题，重点关注其拓扑等价意义下的分类问题。通过对有限维线性控制系统的研究，形成分类问题研究的方法和思路，借鉴此方法，探索一类特殊的无限维线性控制系统的分类问题。. 首先，研究有限维线性控制系统的分类问题。我们逐一考察了时变线性控制系统、广义线性控制系统、带观测的定常线性控制系统，根据等价变换的光滑性质，给出线性、微分和拓扑等价的定义，从而在统一框架下进行研究。确定等价类的个数，给出每个等价类的标准型，寻找系统等价的必要条件，从而揭示哪些量或性质在等价变换下保持不变。然后，研究无限维线性控制系统的分类问题。将有限维控制系统分类理论推广到无限维是非平凡的。无限维线性控制系统的分类问题，我们目前还处于起步阶段，只对一类特殊的无限维线性控制系统进行了研究。. 作为本项目的一个相关研究内容，我们讨论了偏微分方程的非齐次边值问题。要研究偏微分方程控制理论，特别是边界控制理论，必须先建立非齐次边值问题的适定性结果。我们得到了一维和二维空间中，具有非齐次边值条件的Kuramoto-Sivashinsky方程、Burgers’方程和Ginzburg-Landau方程的适定性结果。