几类分数阶微分方程的谱亏损校正方法研究

Fractional differential equations have non-local operators, which makes it more suitable for describing materials with memory and heredity in the real world. At present, fractional differential equations are widely applied in physics, chemistry, biology, engineering and other fields. Therefore, the development of the numerical methods with high accuracy is of great theoretical significance and application value. In this project , we will carry out an in-depth research on spectral deferred correction method for several classes of fractional differential equations by the theoretical investigation and numerical computation. The main contents include: (1) Propose and analyze the spectral deferred correction method for the time fractional ordinary differential equations with smooth solutions and non-smooth solutions, respectively, and we will provide a rigorous stability and convergence analysis of the overall method based on different meshes; (2) Improve the above spectral deferred correction method so as to improve the convergence rate; (3) Propose the time parallel algorithms combined with spectral deferred correction method to solve the time-fractional diffusion equations and then provide a rigorous convergence analysis.The research of this project will further enrich and develop the computational theory of the high order numerical methods for fractional differential equations.

分数阶微分方程具有非局部算子，这一特性使之更适用于描述现实世界中具有记忆和遗传性质的材料。目前，分数阶微分方程在物理、化学、生物、工程等领域得到广泛的应用，研究其高精度数值解法具有重要的理论意义和应用价值。本项目拟从理论分析和数值计算两方面对几类分数阶微分方程的谱亏损校正方法展开深入研究，主要包括：(1) 针对分别具有光滑解和非光滑解的时间分数阶常微分方程构造和分析谱亏损校正方法，并基于不同的网格对该方法的稳定性和收敛性展开严格的理论分析；（2）对上述构造的谱亏损校正方法加以改进，以提高算法的收敛精度；（3）设计时间并行算法结合谱亏损校正方法数值求解时间分数阶扩散方程，开展收敛性分析。研究成果将进一步丰富和发展分数阶微分方程高精度数值计算方法的理论。

针对复杂的数学问题的数值仿真在物理、控制工程等领域具有广泛的实际应用，由于分数阶微分算子的非局部性和奇异性，用分数阶微分方程来对工程技术中具有记忆过程、遗传性质以及异质材料进行建模往往比整数阶数学模型更符合实际，因此研究分数阶微分方程的高精度数值解法、数值仿真及其应用具有重要的学术价值。本项目以具有光滑解和非光滑解的时间分数阶微分方程为研究对象，构造和分析谱亏损校正方法、时间并行算法和谱亏损校正方法相结合的高精度数值格式，并对上述高精度数值算法进行进一步改进。另外针对几类具有分数阶微分算子、随机性或不确定性的复杂微分方程系统进行高效的数值仿真实验和对所设计的高精度数值格式给出误差估计的稳定性与收敛性的一部分理论结果。高精度数值格式的设计方法和分析结果应用到分数阶微分方程系统的微分器设计的数字化实现、时间分数阶偏微分方程和具有随机噪声的系统的控制器设计的数字化实现，并给出稳定性与收敛性分析结果，并通过数值仿真实验证实其有效性和实用性。围绕本项目项目负责人和项目组成员、国内外同行合作在国内外SCI源刊录用/发表5篇学术论文，基本完成项目预期的研究成果目标，通过本项目研究，项目组对分数阶微分方程的高精度数值算法及其在控制领域的应用有更深入的理解，为下一步从事计算数学与控制理论的交叉学科方向研究打下扎实的基础。