多尺度随机偏微分方程的约化问题

This project is focus on the reduction problem for complex systems with separation on both spatial and temporal scales which is described by a stochastic partial differential equations (SPDEs) with singular perturbation. We aim to derive an effective approximate model which is simple and carry with the effects of microscopic scales (fast scales) to macroscopic scales (slow scales). Typically the project is concerned with the following .1. To derive averaging approximation model for slow-fast SPDEs with general fast part which may not be mixing or fast part driven by some non-autonomous force..2. To derive effective approximation model for SPDEs with separated both spatial and temporal scales, especially consider the effects of different separation on spatial scales and temporal scales. .3. To build diffusion approximation for fast stochastic fluctuation on spatial scales, especially for high dimensional case..4. To derive Smoluchowski-Kramers approximation for singularly perturbed stochastic wave equations with varying damping term. . The above research of this project are all important topics in the field of SPDEs with multiple-scales, and are important development and supplement of SPDEs.

本项目研究由具有奇异扰动参数的随机偏微分方程描述的在时间和空间具有快慢尺度分离的复杂系统的约化问题，即在参数很小时建立一个有效的逼近模型。该模型是一个简化的但能很好的体现出微观尺度(快尺度)的行为对宏观尺度(慢尺度)行为的影响。具体本项目研究：.1. 建立随机快慢偏微分方程在快系统具有更为一般的外力时的平均逼近系统，包括快系统的随机快速涨落不具有指数混合性或者同时具有非自治外力。.2. 对在时空尺度同时具有快慢尺度分离的复杂系统建立有效逼近模型，特别考虑时间尺度和空间尺度不同分离程度对系统的影响。.3. 对空间尺度上的快速涨落的模型建立扩散逼近结果，特别是高维的情形。.4. 对具有变阻尼奇异扰动随机波动方程建立Smoluchowski-Kramers 逼近结果。. 本项目的研究内容是多尺度随机偏微分方程方向的重要内容，对随机偏微分方程理论研究是重要的补充和发展。

本项目延续前面的研究成果，建立具有不同尺度分离系统的复杂系统的有效逼近模型。具体的.1. 具有变阻尼的随机微分方程的Smoluchowski–Kramers (SK)逼近结果。考虑了具有快速涨落项下的SK逼近问题，利用一个非自治线性系统的一致性估计，处理变阻尼带来的困难，建立解的胎紧性，然后通过扩散逼近的方法建立了SK逼近的结果。该结果在审稿中。.2. N-随机粒子系统建立的平均场和小质量双重极限逼近结果。在小质量情形下，通过粒子系统与其对应的特征系统之间的比较，建立逼近关系。由于小质量引起的是奇异扰动，我们将特征系统改写成为一个分布依赖的随机快慢系统，通过平均的技巧建立逼近结果。该结果已投出，在审稿中。.3. 建立快慢随机偏微分方程的时间离散逼近。利用Monte-Carlo方法结合随机平均理论，建立随机快慢系统的时间离散逼近模型。该结果已被DISC. CONT. DYNA. SYST. B接受发表。.4. 对具有有界和Dini连续的漂移项的随机传输方程建立解的存在唯一性。 利用了Ito-Tanaka技巧，对漂移项做了进一步弱化，建立的解的适定性。推广了Flandoli等人在Invernt. Math.上的结果。该结果在二审中。.5. 广义郎之万方程描述的小质量的粒子在快速涨落外力作用下的逼近。 广义郎之万方程描述的小质量的粒子在具有记忆的快速涨落外力作用下的逼近。通. 过对线性系统的估计，利用扩散逼近方法，建立广义郎之万方程解在小质量极限下以及快速涨落下的逼近。该结果被 J. Diff. Equa. 接受。.6.建立具有边界快速涨落和强的相互作用的发展方程的解建立分布意义下有效的逼近。在奇异扰动和快速涨落参数同时趋向零时，二阶发展方程的解和一阶发展方程的 解收敛到同一过程。该过程是一白噪声驱使的一维常微分方程。该结果发表在 J. Diff. Equa.。