多尺度随机模型的约化方法及其若干应用

Many practical problems involve both complex multiscale features and uncertainty. Multiscale stochastic modeling has become a popular approach to characterize the multiscale phenomena and quantify the uncertainty for these problems. The model's output or quantities of interest can be accurately predicted by efficiently simulating the multiscale stochastic model. The existence of model's properties varying over multiple scales combined with this uncertainty brings great difficulty to the development of efficient algorithms for the simulation of the multiscale stochastic model. To overcome the difficulty, a set of multiscale stochastic model reduction methods are proposed: (1) multiscale stochastic methods based on high dimensional model representation; (2) multiscale methods based on splitting stochastic fields; (3) multiscale stochastic methods based on global basis reduction; (4) multiscale methods based on multilevel sampling. The project implicitly applies the model reduction techniques, which are conducted in both physical space and stochastic space. By the proposed model reduction, computation complexity is significantly reduced and simulation efficiency is substantially improved for multiscale stochastic models. The multiscale stochastic model reduction methods are applied to three prototype practical models: groundwater model, multiphase flow model in reservoirs and wave propagation model. By simulating the reduced practical models, the applicability of the different multiscale stochastic model reduction methods will be addressed. The proposed project will provide an efficient approach to choose and assess a computational surrogate model for a multiscale stochastic model.

许多实际问题具有多尺度特点和不确定性。 多尺度随机模型广泛用于刻画这些问题的多尺度现象和量化其不确定性。只有通过有效模拟模型，我们才能准确预测模型的输出和兴趣量。 多尺度特点和不确定性同时存在对开发算法有效模拟多尺度随机模型带来很大的困难。为克服这个困难，我们提出了一套多尺度随机模型的约化方法：（1）基于高维模型表示的多尺度随机方法；（2）基于随机场分裂的多尺度方法；（3) 基于全局基约化的多尺度随机方法； (4) 基于多层样本的多尺度方法。此项目所探讨的模型约化方法同时在物理空间和随机空间进行约化。通过这些模型约化方法，计算复杂性显著降低，模拟效率能大幅提高。我们将这些多尺度随机模型约化方法用于三种示范实际模型：地下水模型，油田多相流模型和波动传播模型。通过模拟这些模型来讨论几种模型约化方法的适应性。此项目将为多尺度随机模型评估和选择可计算代理模型提供有效的途径。

许多应用科学问题和工程问题具有多尺度性和不确定性。这些不确定性常常用随机参数来刻画。由于多尺度问题不确定因素较多，我们需要用大量的随机参数来刻画。这样的多尺度模型定义在高维的随机空间中。 这对多尺度模型的模拟带来巨大挑战。为了克服这些困难，我们系统研究了多尺度随机模型的约化方法，并探索了其在随机多孔介质模型中的应用。 在这个项目中，我们主要研究了如下方面：（1）基于高维模型表示的多尺度方法； （2）基于全局降基和局部降基的多尺度约化方法； （3）一种新的变量分离的模型约化方法；（4）基于稀疏表示的多尺度模型约化；（5）基于多尺度模型约化的贝叶斯反问题和随机最优控制问题。通过这些模型约化方法，计算复杂性显著降低，模拟效率能大幅提高。此项目为多尺度随机模型评估和选择可计算代理模型提供了有效的方法。在这个项目研发的过程中，18篇高质量的文章发表在SIAM Journal on Scientific Computing, Multiscale Modeling and Simulation, Journal of Computational Physics等科学计算的顶级刊物上。有9位研究生通过参与这个项目受到严格的科学训练。