多尺度随机双曲-抛物方程的约化

The problem of model reduction is one of the central problems in multiscale models that have recently attracted much attention from the research community across a number of disciplines ranging from applied mathematics to physics, biology and engineering. With our earlier contributions in dimension reduction for stochastic parabolic equations with double time scales, this project will focus on reduction principle for a class of coupled stochastic hyperbolic-parabolic partial differential equations (SHPPDEs) with fast and slow time scales. The effects of large scale and random influence are two main difficulties to solve this problem. With the averaging principle and stochastic analysis, we will study the necessary conditions so as that there exist a reduction equation which approximates the dominant component of the SHPPDEs with two time scales,the numerical scheme for the reduction equation, the explicit order of convergence(with respect to the parameter of time scale) in strong sense (approximation of trajectories) and in weak sense (approximation of laws) for the approximation of dominant component towards the solution of this reduction equation. The theoretical significance of our research will make progress in understanding the evolutionary behavior for stochastic systems with multiple scales. It also provides a rigorous theoretical basis for modeling, simulation, parameter estimation, optimal control for complex systems with multiple scales.

多尺度模型正引起数学、物理、生物和工程等诸多学科的极大关注。解决多尺度模型的核心问题之一就是对模型进行约化。前期的研究中，我们已建立了两时间尺度的随机抛物方程的维数约化原则。本项目中，我们将研究具有快慢两个时间尺度的耦合随机双曲-抛物方程的约化问题。大尺度效应和随机影响是解决该问题的两个主要难点。在平均化原理和随机分析理论的框架下，我们将研究两时间尺度的随机双曲-抛物方程的约化方程存在以及逼近原系统主要分量的必要条件、约化方程的数值算法、主要分量与约化方程的解过程在强收敛(轨道的逼近)及弱收敛(分布的逼近)意义下关于时间尺度参数的收敛速度。这些结果能够加深对多尺度随机系统演化行为的认识，为多尺度复杂系统的建模、仿真、参数估计、最优控制等问题提供严格的数学基础。

随机偏微分方程可以用来精确描述具有空间和时间演化特性并且受到内部、外部或环境噪声影响的物理现象。因此，随机偏微分方程的研究不仅具有重要的理论价值，同时也具有广泛的应用背景。本项目主要研究一类具有快慢两个时间尺度的随机双曲-抛物方程的约化系统及其逼近。主要的研究内容和结果如下：. 1.在平均化原理的框架下，研究了具有两时间尺度的随机FitzHugh–Nagumo 系统的渐近行为。在耗散性条件下，得到了该系统慢变量过程的约化方程。该约化方程为一个具有修正系数的随机常微分方程；而且，慢变量以1/2阶的收敛速度趋近于约化方程的解。. 2.在平均原理的框架下，研究了具有快-慢两个时间尺度的耦合随机波动-抛物方程的渐近行为，其噪声为加性型白噪声。 在适当的条件下，得到了该耦合系统慢变量过程的平均方程，其形式为一个与快过程无关的随机波动方程。因此，慢变量过程关于尺度参数的渐近行为可以由一个随机波动方程刻画。. 3.在动力系统的框架下，研究了具有变时滞的Cohen-Grossberg神经网络的吸引子。利用Lyapunov-Krasovskii泛函建立了Cohen-Grossberg神经网络存在拉回吸引子 的一个新的判别准则。. 本课题的所得研究成果丰富和发展了多尺度随机偏微分方程及相关领域。相关结果能够加深对多尺度随机系统演化行为的认识， 为多尺度复杂系统的建模、 仿真、 参数估计、最优控制等问题提供严格的数学基础。