一类多尺度随机偏微分方程的数值计算方法

Multiscale models have been widely used in scientific research and engineering applications, which can be solved with given sets of input data. In practice, however, due to the complicated nature of the physical world and very limited data that is available to scientists, uncertainties in the models can be large. It is important to analyze the uncertainties in the models, and to quantify their influences on the model predictions, so we can make better decisions. Recently, uncertainty quantification (UQ) has become an emerging research field to address these issues. ..This project aims to develop efficient numerical methods for a class of multiscale problems with random coefficients and to analyze the stability and convergence of the proposed methods. For the problem caused by high-dimensional coefficients, the PI intends to apply the multilevel Monte Carlo method and data-driven stochastic method to approximate the high-dimensional solution space. Then, the PI will construct reduced basis functions on each local cell that can capture the low-dimensional structures of the solution space, and design some fast computational algorithms to solve the multiscale problems with random coefficients. Finally, with the newly developed fast algorithms and Bayesian framework, the PI will investigate the model verification and validation for a typical model problem, i.e., flow in a stochastic heterogeneous porous medium. ..It is expected that the new algorithms will enable us to quantify the uncertainties in the multiscale models and help people make better decisions in engineering applications.

多尺度问题模型在科学研究与工程实践的很多领域有着广泛的应用。由于客观世界极其复杂、人们采集的数据又非常有限，这些数学模型存在很大的不确定性。 近年来，数学模型的随机建模，以及定量化分析模型中不确定性的影响，成为了新的研究热点。.本项目拟研究一类带随机系数的多尺度问题的数值计算方法，并对算法的稳定性和收敛性进行分析。对项目中遇到的高维随机系数问题，设计多层蒙特卡洛方法和数据驱动随机方法，处理高维问题空间的逼近。对随机系数导致的变系数多尺度问题，构造缩减基函数用来逼近解空间的低维结构，然后设计快速而有效的数值算法。最后利用新得到的算法，结合贝叶斯方法，对工程领域常用的流体在非均匀随机介质中的扩散模型，进行模型的验证与确认研究，从而为不确定性问题的建模和量化分析提供新的方法。.本项目得到的算法将能够有效地分析多尺度问题模型中的不确定性因素的影响，从而为工程领域的科学决策提供依据。

多尺度问题模型在科学研究与工程实践的很多领域有着广泛的应用，例如油藏数值模拟和复合材料模拟。由于实际问题极其复杂、人们建模过程中能考虑的参数以及实验过程得到的数据都非常有效，因此这些数学模型中存在很多不确定性因素。近年来，数学模型的随机建模，以及定量化分析模型中不确定性的影响，成为了新的研究热点。本项目就是在这样的背景下立项的。..在本项目中，我们先对一类带随机系数的多尺度椭圆问题分别构造了基于优化方法的多尺度基函数构造方法和基于压缩基函数的数值计算方法，并对算法的稳定性和收敛性进行分析。我们还研究了带随机系数的多尺度扩散问题的计算方法。我们将针对带随机系数的多尺度椭圆问题得到的数值方法用来研究材料科学中的一个模型问题（即随机区域半导体材料的激子扩散长度的估计），并且得到了跟实验数据吻合的数值结果，从而可以帮助理解一些光电器件的功能特征。我们还将基于优化方法的多尺度基函数的方法，推广到计算薛定谔方程的特征值问题和计算带有多尺度势函数的半经典极限薛定谔方程，并对算法的稳定性和收敛性进行了分析。我们的计算方法可以用来数值模拟一些具有定制功能的量子异质结构，例如异质结和量子超材料。我们还研究了近年来一些非常热门的方法用来计算多尺度椭圆问题，如聚类算法和机器学习算法。我们的研究表明，这些热门的方法在计算多尺度椭圆问题非常有效，具有一些新的优势，值得继续深入研究。 . .本项目得到的算法将能够有效地分析多尺度问题模型中的不确定性因素的影响，从而为工程领域的科学决策提供依据。另外，本项目得到的研究结果也为后续的研究问题，比如随机介质中的亥姆霍兹方程和多尺度介质中的两相流等问题，提供了研究基础和准备。