几类(李、左对称)共形(双)代数的结构和表示

Classification of all possible kinds of conformal algebras is a very important research work in the conformal field theory and its total investigation has not been completed yet. Conformal algebras are very closely related to various aspects of Lie theory, such as Kac-Moody algebras, vertex operator algebras, Lie superalgebras and so on. In this project, we shall construct some (Lie, left-symmetric) conformal (bi) algebras related to the Block type Lie algebras and the Schrödinger-Virasoro type Lie algebras, and study the structure theory, cohomology theory and representation theory of these conformal algebras. In addition, on the basis of our previous research works, we shall summarize some general and useful results to solve some problems, consisting of the construction of conformal algebras, the description of conformal modules, the determination of the structures of the left-symmetric (bi) algebras and the quantization of some (conformal) bialgebras.

共形场论分类问题是理论物理研究的重要内容，而对共形代数进行分类是首先要解决的问题。共形代数与李理论的很多领域密切相关，比如Kac-Moody代数、顶点算子代数、李超代数等。本项目主要构造一些与Block型和Schrödinger-Virasoro型李代数相关的(李、左对称)共形(双)代数，研究这些共形代数的结构理论、同调理论和表示理论。目前，研究这些问题的一般方法是具体代数具体讨论。本项目希望在已有结果的基础上，通过对Schrödinger-Virasoro型和Block型共形(双)代数的研究，找到一些研究诸如共形代数的构造、共形代数左对称(双)代数结构的确定、共形模的刻画、共形双代数结构的刻画及其量子化等问题的统一方法。

共形代数由Kac在1996年提出，他们在量子场论和顶点算子代数中起着重要的作用。本项目主要对一些共形代数及其相关李代数的结构理论，表示理论和同调理论进行研究。 .主要得到如下结果。.1. 给出了两类Block型李超代数S(q)的不可约拟有限模：如果参数q不等于1，那么不可约拟有限模要么是一个最高权模，要么是一个最低权模或者是一个中间序列模。 除此之外，对q不等于-1的情形进行了分类。.2. 研究了一类无限维李代数的二上同调群和Leibniz二上同调群。这类李代数包含无中心的Virasoro子代数。.3. 对一类Block型李共形代数B(p)的有限不可约共形模进行了分类。特别，当p等于-1时，李共形代数B(p)上的不可约共形模可以看成Virasoro共形子代数的有限共形模的扩展。此外，对共形代数B(p)的一系列有限共形商代数的不可约共形模进行了分类。.4. 构造了一类无限阶李共形代数CPG(a,b)。通过计算，得到了这类共形代数的导子代数。并对它的阶为1的共形模和Z阶化的自由中间序列模进行了完全分类。此外，给出了这类共形代数的有限李共形子代数PB(a,b)的相应结果。.5. 研究了超Galilean共形代数的超斜对称超双导子，证明了这类共形代数存在外超导子。此外，证明了这类共形代数上的线性super-commuting映射是标准的。这一结果可以看成是超Virasoro共形代数相应结果的扩展。.6. 讨论了一类Block型李共形代数B(q)的结构理论。具体的，刻画了这类李共形代数的共形导子、共形双导子以及特殊类的二上同调。.7. 确定了扭Schrodinger-Virasoro代数的Poisson结构，使得此类代数不仅具有李代数结构且兼有代数乘法结构。.8. 确定了topological N=2超共形代数的一类不可约Z*Z-阶的中间序列模。此外，确定了这些模的不可约性和同构类。.9. 研究了一类非半单非可解的2阶李共形代数的共形导子，共形拟导了，广义共形导子和共形双导子。除此之外，研究了这类李共形代数的中心扩张和一阶共形模。 .10. 研究了两类非单的Schrodinger-Virasoso型李共形代数TSV(a,b)和TSV(c)的共形双导子和自同构群。作为主要定理的推论，得到了W(a,b)李共形代数的相应结果。