多尺度约化高效计算在多参数多相流奇异摄动问题的研究与应用

This project is concerned with several types of singularly perturbed models of multi-parameterized inputs, nonlinear, stochastic and multi-phase flows, we study its mathematical theory and numerical superiority from multiscale reduction computations. We design a multiscale reduction proposal based on the proper orthogonal decomposition, to reflect the microscopic information from the multiscale basis functions by solving local eigenvalue subproblems and to describe the macroscopic information by forming the lower dimension mapping matrix. In a way, just a modest computation cost is to be enriched with the correspondingly optimal basis functions. We propose an effectively adaptive error indicator and provide the enriching rules of multiscale space in order for dimension reduction and denoising. The mass conserving strategy for multi-phase flows is considered and the iterative criterion based on error minimizing for multi-parameterized inputs is processed, and we demonstrate the efficiency and advantage of our multiscale reduction from both the mathematical theory and numerical experiment. Goals of the project are contributed to recover the singular perturbation and resonance error, to expand the theory results and numerical applications, and integrate a massive parallel source code package. The scientific results with high accuracy, great efficiency, strong ability, multi-output and super-convergence are our desires, and we present technique supports for improving the numerical analysis and computational capability.

本项目面向多参数输入、非线性、随机性、多相流的各类奇异摄动模型，研究多尺度约化高效计算的数学理论与数值优势。设计基于本征正交分解的多尺度约化方案，求解特征值子问题得到多尺度基函数来反映微观信息，形成低维数的映射矩阵来刻画宏观信息，仅适当增加计算复杂度基础上、合理嵌入最优性价比的基函数。提出有效优化的自适应误差指示子，构建降维去噪的多尺度空间嵌入原则，探究保持质量守恒的多相流数值技巧，给出基于误差最小化的多参数迭代准则，从发展理论和数值实验两方面证明多尺度约化计算的高效优势。研究目的是消除奇异摄动和共振误差，拓展理论结果与数值应用，集成大规模并行化的源程序代码包，以实现高精度、优效率、强性能、多输出、超收敛的科学结果，为优化数值分析、改善计算性能提供技术支持。

本项目研究多尺度约化高效计算在多参数多相流奇异摄动问题的数学理论与数值应用，面向多参数、多相流、抛物型的各类奇异摄动模型，探究了多尺度计算的高效实践和数值优势。通过求解特征值子问题得到的多尺度基函数来反映微观信息，对应形成低维数的映射矩阵来刻画宏观信息，合理嵌入优化性价比的多尺度基函数，结合本征正交分解进行降维约化和提升精度，利用自适应分析确定后验误差与参数选取，考虑时间层隐格式和移动网格给出稳定性结果，能从理论拓展和数值实验两方面构建并验证了更具优势的多尺度约化高效计算方案，实现了高精度、优效率、强性能、超收敛的科学结果。. 重要结果和关键数据：. (1) 通过特征值选取、本征正交分解的有效方案，利用广义多尺度有限元法结合平衡截断技术处理对偶的Lyapunov方程，高效捕捉了控制变量与观测变量的代表性特征值，给出了基于误差最小化的迭代计算多参数问题的准则。.(2) 精心设计面向目标的误差指示子，基于先验估计和后验估计的生成新网格，构建了自适应最优分层网格，理论证明了多尺度解的有界和高阶，针对各类边界条件获得了与小参数无关的一致收敛结果及其误差范数的超收敛数据。.(3) 针对非稳态的抛物型多相流问题，时间上采用稳定高阶的隐格式，空间上采用基于自适应分析的特殊网格离散化，探究保守恒性质的数值实践技术，处理流体力学方程得到了时空间的高阶模拟结果。.(4) 模拟自由边界获取有效的移动界面，应用多尺度计算结合特殊网格求解目标函数。获得了高精度、高效率、超收敛的理论进展和数值结果，集成了多尺度约化模拟程序包。.科学意义：主要针对多参数、多相流的奇异摄动模型，研究了多尺度约化高效计算的数学理论和数值实现。设计本征正交分解的尺度约化方案，形成低维数的宏观映射矩阵，探究保守恒的数值技术，给出自适应误差最小化的多参数迭代准则，消除了多尺度共振误差，集成了源程序代码包，为优化数值分析、改善计算性能提供有力支持。