一些几何结构上的函数论

将多复变函数论和复流形的理论推广到具有其它几何结构的流形上。在多变量四元数空间中全纯域或拟凸域上解超定的非齐次k-Cauchy-Fueter方程及k-Cauchy-Fueter复形相关的Neumann问题。并由此得到许多关于四元正则函数的结论。对两个八元数变量的Cauchy-Fueter算子，用Penrose变换构造相应的正合微分复形，并作相应的的分析。把Biquard关于四元、八元数切触流形的理论推广到一般四元、八元强拟凸域的边界上，从而把CR函数、CR流形的理论推广到四元、八元强拟凸域的边界上。对更一般的齐次空间G/P（G是一个半单Lie群，P是G的一个抛物子群），用Penrose变换构造G-不变微分算子和这个算子作为第一个算子的正合微分复形。寻找对应于（G，P）的抛物流形上非平凡的函数论，并发展它们。

利用复几何中Twistor变换，k-Cauchy-Fueter方程的解可以用Penrose型积分公式给出，由此可以导出了四元数空间上k-正则函数的级数展开式。利用Dolbeault上同调，这也可以用Radon-Penrose型积分公式实现。我们用Twistor变换构造了一族半单李群G_2(2)不变的微分算子。我们刻画了四元Siegel上半空间上平方可积函数空间到四元Hardy空间投影算子的Cauchy-Szego积分核，并找到了Cauchy-Szego核的精确表达式。非交换Fourier变换被用来研究八元Heisenberg群上的正则函数和正则算子，到平方可积正则函数空间投影的Szego核，以及一些二步幂零李群上切向Cauchy-Fueter算子的相对基本解及Cauchy-Szego核。还研究了球型四元切触流形上的几何与分析，构造了共形不变量，提出了qc正质量猜想，并应用于Sp(n + 1, 1)的凸余紧子群。把多复变函数论中关于复Monge-Ampere算子的多重位势理论推广到 k-Hessian算子及四元Monge-Ampere算子：定义了Lelong数，边界测度，证明了Lelong-Jensen型公式等，并发展四元闭正流理论，推广了Bedford-Taylor理论。我们也研究了3-规范理论及群的3-表示理论。