几类非线性微分方程的变分和拓扑方法研究

We use variational and topological methods to study the existence results and the properties of solutions for quasilinear Schrödinger equations and impulsive differential equations defined on infinite interval in Banach spaces. The main contents include: 1. In the case of potential is sign-changing and may be negative, by establishing new minimax principle and using invariant sets of descent flows, we study the existence, mulitiplicity and properties of solutions for quasilinear Schrödinger equations involving superlinear growth and asymptotically linear growth. 2. By using the variational methods, measure of noncompactness, fixed point theory and topological methods, we concern the existence results and properties of solutions for impulsive differential equations defined on infinite interval in Banach spaces. The subject widen the applications of variational and topological methods in nonlinear differential equations. It is of great significance to the improvement and development of the theory and methods of nonlinear functional analysis and the study of applied mathematics and nonlinear problems in mathematical physics.

本项目利用变分方法和拓扑方法研究拟线性薛定谔方程和Banach空间无穷区间上脉冲微分方程解的存在性和解的性质。主要内容包括：1、势函数在某些区域上可取负值的情况下，通过建立新的极大极小理论并结合下降流不变集方法等研究拟线性薛定谔方程非线性项超线性增长、渐近线性增长时解的存在性、多重性和解的性质等；2、利用变分方法、非紧性测度、不动点理论和拓扑方法，研究Banach空间无穷区间上脉冲微分方程解的存在性和解的性质。本课题对发展和完善非线性泛函分析理论和方法，拓宽变分方法和拓扑方法在各种非线性微分方程中的应用范围，并对应用数学和数学物理中的非线性问题的研究都具有重要意义。

非线性泛函分析是数学中既有深刻理论又有广泛应用的研究领域。本课题以数学和自然科学中出现的非线性问题为背景，研究非线性泛函分析理论和方法以及几类非线性微分方程解的存在性和解的性质，所获结果主要包括：1. 运用分段估计方法、半群理论和不动点理论等，在非线性项仅满足较弱条件且脉冲项失去紧性和Lipschitz条件时研究Banach空间脉冲半线性积分-微分发展方程适度解的存在性和解对初值的连续依赖性等；2. 通过对变号的非线性微分方程和方程组相应积分算子的研究，引进平移变换技巧，实现了非锥映射到锥映射的转换，解决了非线性项变号且无下界的难点，得到了变号非线性微分方程和方程组正解的存在性和多重性；3. 通过引进合适的函数空间并建立无穷区间上相对紧性判定定理，研究了无穷区间上非线性微分方程解的存在性和唯一性；4. 对非线性函数引入适当局部极限条件或通过引入约束的上下解概念，解决了非线性项同时在时间变量和空间变量处奇异的强奇异性问题，得到了奇异微分方程正解的存在性和解的性质；5. 研究了几类分数阶微分方程和方程组非局部边值问题和脉冲反周期边值问题解（正解）的存在性、唯一性和多重性等；此外还研究了一类非线性对流反应扩散方程和含参数四阶微分方程广义Sturm-Liouville积分边值问题等。本课题对发展和完善非线性泛函分析理论和方法以及微分方程理论，并对其他一些数学分支以及应用学科中的非线性问题的研究都具有重要意义。本项目执行期间，共发表论文16篇，其中被SCI检索15篇，SCI他引总次数112次，入选ESI高被引论文4 篇，指导毕业硕士研究生5名。