多孔介质中非达西流与非牛顿流耦合模型的数值方法研究

Coupled porous media flow with porous media flow model originates from the speeage flow in oil resevoir matrix and the fluid flow in well, transport of substances between surface water and ground water, and the design of filtration device, while coupled non-Darcy flow in porous media and non-Newtonian fluid flow model is the key point. We propose the numerical analysis for this model including the design of numerical scheme, stability analysis, a priori error estimates, efficient iterative algorithm design, simulation program coding and the practical problem compution. On one hand, introducing the intermediate physical quantities and we get the multi-field variational form; on the other hand, the interface condition is well considered to decouple the equations in two region which are solved independently; the mixed element and discountinuous element are used to approximate the weak form. Utilizing the monotone nonlinear operator property, we will prove the inf-sup condition and get the optimal convergence rates. Multi-field variational form may be discreted into the twofold saddle point nonlinear algebraic equation, which requires efficient iterative algorithm in the practical simulation. In the end, we code and test the simulation program and design the simulation software framework.

多孔介质流与自由流耦合模型在油藏基质中渗流与井、缝洞中自由流，地下水与地表水传质，过滤装置的设计等问题有广泛的应用，而多孔介质中非达西流与非牛顿自由流的耦合模型是此类问题的焦点。本项目提出对模型的数值分析理论与方法的研究工作，包括数值格式的设计、稳定性分析、先验误差估计、高效迭代算法的设计、计算模拟程序的编写及实际问题的模拟计算。数值格式的设计方面，一是引入中间物理量，得到多场耦合的变分弱形式；二是处理交界面条件，使得两个区域方程解耦，每个子区域方程独立求解，且保证数值格式稳定；采用的有限元逼近主要是混合元、特征元、间断元格式。先验误差估计主要利用单调非线性算子的特性，研究极小极大条件，期望得到最优误差阶。引入多物理场得到的变分形式离散后形成二重鞍点非线性代数方程组，寻求高效的迭代法也是计算模拟的重要方面。最终编写、测试有实用化前景的模拟计算程序，完成实用模拟软件的设计方案。

多孔介质流与自由流耦合模型在油藏基质中渗流与井、缝洞中自由流，地下水与地表水传质，过滤装置的设计等问题有广泛的应用，而多孔介质中非达西流与非牛顿自由流的耦合模型是此类问题的焦点。本项目提出对模型的数值分析理论与方法的研究工作，包括数值格式的设计、稳定性分析、先验误差估计、高效迭代算法的设计、计算模拟程序的编写及实际问题的模拟计算。具体包括以下三个方面：.（1）对于非线性的达西-福希海默模型，考虑了变福希海默数的情形，使用交错网格格式同时离散速度和压力，利用单调算子不等式进行误差分析，对于速度压力均得到了二阶误差估计。使用定常迭代格式计算了数值误差阶，与理论分析结果一致。.（2）对于非达西-斯托克斯耦合模型、非达西-非牛顿耦合模型，设计了Crouzeix-Raviart元离散压力同时分片常数元离散压力的一致稳定格式、局部高精度的守恒间断元格式、Mardal-Tai-Winther元这三种有限元格式。非协调元、间断元的离散有相容性误差，因此需要考虑单元边上加罚项才能够保证数值格式的收敛性，统一处理区域剖分内部的边界与交界面上Beavers-Joseph-Saffman条件。应用非达西非牛顿方程的单调算子不等式技巧进行了误差估计。数值验证结果与理论分析一致，同时做了相对于关于达西-斯托克斯模型的对比，我们发现非达西流区域的压力较达西流区域较强，这与我们一直以来的数值验证工作相一致，有待于进一步的物理解释。.（3）考虑了多孔介质区域的微可压缩非达西流混溶驱动模型的混合有限元与特征有限元耦合格式。比较了达西方程与非达西方程两种不同的速度压力模型下浓度场的驱动效果，数值实验表明非达西流的驱替效果较达西流更明显。在实际油藏数值模拟中，可以通过调整非达西系数取得更好的历史拟合结果，将拟合参数带入数值模型中，可以更精确地进行生产预测，对于指导实际生产有重要意义。