具有对称结构的时滞微分系统的等变分支

With the development of nonlinear dynamics, there has been a flurry of research activity on bifurcation theory and its applications recently. The theory of equivariant bifurcation is a challenging frontier topic in the research of bifurcation of delay differential equation. Our main research contents of this project mainly include three aspects as follows. (1) Study on equivariant Hopf bifurcation. We will apply the equivariant degree theory to the research of the equivariant bifurcation about some delay differential systems with different symmetries. By computing the normal form of the systems with assistance of the developed Maple routines, the property of the bifurcated periodic solutions such as the direction of the bifurcation and the stability of periodic solutions will also be discussed. A continuation of symmetric branches of non-constant periodic solutions will be proved by employing the global Hopf bifurcation theorem. (2)Analyze equivariant double Hopf bifurcation. According to the appearance of the strong resonance double Hopf bifurcation in the system, we will abandon the traditional method for computing normal form and choose the method of multiple scales in conjunction with the representation theory of Lie group for research of double Hopf bifurcation. (3)Consider the effect of the coupling manner on dynamics of the system. We will use the concept of “groupoid” instead of “group” to analysis the effects of network structure on the dynamics of functional differential equation, and apply the theoretical results in the investigation of concrete models with delays and partial symmetries. The research results of this project will not only promote the further development of the related areas of research, but also supply broad space and prospect for the applications of equivariant bifuraction theory.

随着非线性动力学的发展，分支理论及应用近年来成为一个活跃的研究热点。等变分支是时滞微分方程分支研究中具有挑战性的前沿课题。本项目主要研究以下内容：(1)等变Hopf分支。针对具有不同对称结构的时滞系统，利用等变度理论和方法研究等变Hopf分支；通过编程计算系统的等变规范型讨论等变分支方向、等变分支周期解稳定性；运用全局Hopf 分支定理证明分支周期解的全局存在性。(2)等变双Hopf分支。针对系统出现的强共振双Hopf分支，放弃传统的计算规范型的方法，将李群表示论与多尺度方法相结合研究等变双Hopf分支。(3)耦合方式对系统的动力学性态的影响。将 “广群”(groupoid)替代“群”概念分析网络结构对动力学影响的理论框架推广到泛函微分方程上，研究具时滞的部分对称耦合模型的Hopf分支。 本项目的研究不仅可促进相关研究领域的进一步发展，而且将为等变分支理论的应用提供更为广阔的空间和前景。

对称性破缺与等变分支研究是近年来微分方程及其应用领域一个非常活跃的热点。本项目基于前期研究工作，综合运用等变度理论、李群表示论、中心流形约化方法、规范型计算方法以及多尺度方法就具有对称结构的时滞微分系统的Hopf分支、双Hopf分支，以及耦合方式对其动力学性质的影响等重要问题展开研究。. 第一，我们给出了两类具对称结构的时滞微分系统发生Hopf分支的充分性条件，通过运用规范型理论和中心流形定理，讨论了分支周期解的性质，包括分支方向、周期解的稳定性。第二，我们特别就系统出现的双Hopf分支进行了深入研究，分别用Faria -Magalhaes发展的规范型计算方法与多尺度方法计算其规范型。第三，我们通过数值模拟验证了所有理论结果的正确性。此外，受鞍结点分支和异宿分支理论和思想的启发，我们寻找到一个构造下解的途径，从而运用单调方法证明了一类具有移动栖息地的Fish-KPP方程灭绝波的存在性，补充了现有文献关于Fish-KPP方程的研究结果。. 到目前为止，部分研究结果已分别在国际权威刊物 Neurocomputing 和 Proceedings of American Mathematical Society上发表，其它研究结果已基本整理，正待发表。项目研究不但可促进时滞微分方程分支理论的进一步发展，而且对技术应用领域如神经网络、电子工程、生物化学等也有重要的指导意义。