非高斯噪声激励下分数阶导数系统的非平稳响应研究

The theories and applications of systems with fractional derivatives under noise excitations are the hot issue in the field of stochastic dynamics. However, the current references are mainly limited in Gaussian noise excitaitons and studies on stationary response due to the lack of efficiently analytical tools. Therefore, the purpose of this project will carry on research from two respects based on the present situation of fractional derivatives in sthochastically dynamical systems. On the one hand, for typical vibration systems in the field of engineering structures, consider non-Gaussian or non-stationary noise as excitations, such as bounded noise, real noise and wide-band noise with stationary properties and uniformly modulated noise without stationary properties, develop asymtotically analytical methods for fractional derivative, improve stochastic averaging method, wavelet-base transformation and so on, so as to discuss deeply the time-depedence and evolutionary power spectrum of all kinds of noises. Furthermore, to analyze the response of fractional derivative systems under different excitations. On the other hand, explore the approximated expressions for fractional derivative with different orders, improve Galerkin method, eigenfunctions of FPK equation, Markov approximation approach and so on, so as to investigate vibration mechanism of fractional derivative on systems. Except that, build a theotical framework for the study on non-stationary response of fractional derivative systems. The research of this project is greatly significant for learning about vibration evolution of engineering sturctural systems and enhancing the stability of these systems.

噪声激励下分数阶导数系统的理论和应用是随机动力学领域关注的前沿课题之一。由于研究工具的匮乏，分数阶导数系统的研究成果主要局限于高斯白噪声激励及平稳响应讨论。本项目针对分数阶导数随机动力系统的研究现状，旨在从两方面展开工作。一方面，对工程结构领域中的典型振动系统，激励考虑更符合实际的非高斯或非平稳噪声，如具有平稳性的有界噪声、实噪声、宽带噪声以及不具有平稳性的均匀调制噪声等。发展分数阶导数的渐近分析方法，改进随机平均法、小波基变换法等，深入讨论各类噪声的时间关联性和演变功率谱特征，分析各激励方式下分数阶导数系统的响应问题。另一方面，发展不同阶次分数阶导数的有效渐近式，改进Galerkin法、FPK方程的特征函数法、Markov逼近法等，探讨分数阶导数对系统振动的作用机理，建立研究分数阶导数系统非平稳响应的理论框架。本项目研究对了解工程结构系统振动规律、提高系统稳定性具有重要的指导意义。

工程结构系统在外部干扰下的随机振动经常用噪声激励的随机动力系统进行刻画，了解和掌握这些振动系统的性质、发现系统变量在时间域内的演化特征即响应问题、以及有效控制它们的演变规律对防止机械疲劳、增强结构稳定、提高系统性能都具有重要的指导意义。.分数阶导数是一种能够比较精确描述粘弹性材料在较大频率范围内动力学特征的数学模型，并且分数阶导数的阶次还可进一步界定粘弹性材料的类型。故噪声激励下分数阶导数系统的理论和应用成为随机动力学领域关注的前沿课题之一。由于研究工具的匮乏，分数阶导数系统的研究成果主要局限于高斯白噪声激励及平稳响应讨论。.本项目针对分数阶导数随机动力系统的研究现状，从两方面展开了工作。一方面，对工程结构领域中的典型振动系统，激励考虑更符合实际的非高斯激励，找到了处理广义积分-微分形式的分数阶导数的近似分析方法。申请者应用该方法分析了一类高斯白噪声激励下的分数阶导数系统，得到了该系统的非平稳响应数值与蒙特卡洛模拟结果，两种方法得到的结果基本吻合，验证了我们采用的近似分析方法的正确性和有效性。.另一方面，确立了噪声激励下随机动力系统的非平稳响应研究理论框架。此框架在内容上包括研究高斯噪声激励下分数阶导数系统的非平稳响应；非高斯平稳噪声激励下分数阶导数系统的非平稳响应；非平稳的均匀调制噪声激励下分数阶导数系统的非平稳响应。在方法上主要包含分数阶导数的近似方法，如前面提到的泰勒公式展开和广义积分以及广义谐波平衡法；对原始的微分方程采用经典随机平均法或能量包络随机平均法。对系统响应满足的FPK方程采用伽辽金方法进行求解等。.总之，在本项目立项以来，申请者以及项目组成员共发表文章8 篇，两篇正被录用中，投稿一篇，其中SCI三篇。申请到一项中国-塞尔维亚科技合作项目。申请到高校基础基金两项；申请到高校教改项目一项；出版《非线性经济周期模型与实证》专著一本。