张量网络算法中非阿贝尔对称性的实现及其应用

Tensor network (TN) approaches are recently developed numerical tools for accurate simulations of strongly correlated systems in two spatial dimensions (2D). As a generalization of the 1D matrix product state, TN states and related algorithms are widely believed to be an advanced theoretical framework and numerical approach in understanding 2D quantum lattice models. Symmetry constitutes a very important ingredient in tensor netoworks, and implementing them explicitely in the code will lead to a huge numerical gain. In this project, we plan to implement non-abelian symmetries in the TN algorithms, and investigate some symmetric 2D lattice models including the SU(2) Heisenberg model on frustrated lattices, the Hubbard model with spin SU(2) X charge SU(2) or U(1) symmetries, etc, with developped efficient tensor network code. This project is of clear technical novelty, and the application of our non-abelian symmetric TN algorithms in 2D strongly correlated systems, including the frustrated quantum magnets and spin liquid states, interacting fermonic models and itinerant-electron magnetism, etc, will help to achieve better understanding of these long-standing interesting while very challenging problems.

张量网络算法是近年发展起来的计算两维量子多体问题的精确数值方法。作为一维矩阵乘积态的高维推广，张量网络态及其相关算法是模拟两维格点系统量子多体问题先进的理论框架和数值工具，在揭示丰富的量子多体效应和新奇物态中发挥重要的作用。另一方面，对称性在张量网络计算中十分重要，应用非阿贝尔对称性会给计算带来巨大的效率提升，并可以帮助对多体波函数做更细致的分析。本项目拟对张量网络算法中非阿贝尔对称性的实现开展相关研究，开发出非阿贝尔对称的张量网络计算程序；并应用发展出的高效算法研究若干具有对称性的量子格点模型，如自旋SU(2)对称的阻挫海森堡模型，自旋SU(2)直乘电荷SU(2)或U(1)对称性的赫伯特模型等。这项研究在计算技术角度上具有创新性，对张量网络算法的发展会有显著的促进作用；其应用也将促进对包括阻挫海森堡模型与自旋液体态，相互作用费米子模型与巡游电子磁性等前沿问题的研究。

张量网络重整化群方法是研究量子多体问题的有力工具，是研究凝聚态物理前沿问题如高温超导、自旋液体等人们感兴趣的新奇现象的新途径。然而，张量网络算法代价高，在实际解决问题时存在一定瓶颈。我们在项目中应用非阿贝尔对称性，大大提高计算效率。将张量网络方法推广到有限温度中，我们能够解决一些量子磁性有限温度性质研究中长期以来悬而未决的问题。在项目支持下我们具体做了以下工作：..（1）发展有限温度张量重整化群方法. 提出了级数展开热态张量网络方法，去除了热力学张量网络计算中的Trotter分解误差，将量子蒙特卡洛中广泛使用的随机级数展开方法张量化，通过对应的张量重整化群计算去除了其中的随机误差，论文作为快速通讯发表在PRB 95, 161104(R) (2017)上。在此基础上，我们进一步提出了指数加速的热态张量网络方法(XTRG)，通过矩阵乘积算符描述系统的有限温度密度矩阵，沿着对数温度轴指数加速降温到达指定的状态。由于剪裁次数大大减少，计算的精度和效率都有大幅提高。同时通过在计算中应用非阿贝尔对称性，我们可以用XTRG来精确模拟两维量子系统的热力学性质，相关论文发表在 PRX 8, 031082 (2018)上。..（2）关联量子系统的热力学研究. 利用热力学张量重整化群方法，我们研究了不可定向流形上共形不变量子临界点的普适热力学，发现了包括克莱因瓶上的普适熵公式，发表在PRB 96, 174429 (2017)和PRB 96, 115136 (2017) ，后者被选为编辑推荐；提出并证明了交叉覆盖流形上的对数发散彩虹熵，作为快速通讯发表在PRB 97, 220407(R) (2018)上。我们研究了阻挫三角晶格海森堡模型的热力学，发现其中存在两个温度尺度，在中间温度区间存在类旋子激发，压制了120度长程序，从而解答了长期以来对此系统反常热力学性质的疑问。通过与液氦超流的类比，我们提出这是自旋几何阻挫导致的一类新奇热力学效应。通过与实验对比，我们的XTRG可以非常完美的拟合实验数据，相关工作已经公开在 arXiv:1811.01397。. 此外，我们还讨论了自旋链材料中量子相变引起的增强磁热效应等其他有趣的量子磁性系统热相关效应研究。..（3）对称张量网络研究量子相变，量子临界以及马约那拉零能模等。