部分退化的时滞反应扩散系统的主特征值问题

Eigenvalues are critical tools to study the dynamical behavior of differential equations, e.g., to analyze the stability and bifurcation. This project aims to investigate the principal eigenvalue problem for a reaction-diffusion cooperative system with some zero diffusion coefficients (partially degenerate) and time-delay, and to explore the mechanism for the existence or non-existence of the principal eigenvalue. The problem arises from the process of the dynamical analysis of benthic-drift population model. Since some diffusion coefficients are zero, the corresponding solution map is non-compact, which brings an essential difficulty to investigate the dynamical behavior of benthic-drift population model. The vital problem is to study the associated eigenvalue problem. We will discuss it from two perspectives. The first one is to show a sufficient condition for the existence of the principal eigenvalue. The other one is to investigate a perturbation problem. By changing the sign of zero diffusion coefficients to be positive, we introduce a family of perturbed reaction-diffusion systems whose diffusion coefficients are greater than zero. We will study the limit behavior of the principal eigenvalue and eigenfunction as perturbed diffusion coefficients go to zero. It is worth pointing out that the limit behavior essentially reflects the mechanism of the existence or non-existence of the principal eigenvalue for the degenerate system.

在微分方程的动力学研究中，特征值是一个非常重要的工具，比如用于研究稳定性问题和分支问题。本项目拟对部分扩散系数为零（部分退化）的合作的时滞反应扩散系统的主特征值问题进行研究，探索主特征值存在与否的本质原因。这一问题来源于benthic-drift种群模型动力学分析的过程。系统部分退化导致解映射缺乏紧性。紧性的缺失为其动力学行为的分析带来了本质性的困难，而研究主特征值问题是探索系统动力学行为的首要步骤。我们将从以下两个方面进行讨论：尝试给出该系统主特征值存在的充分条件；将零扩散系数扰动为正的，使得扰动系统所有扩散系数均大于零，我们将研究当扰动的扩散系数趋于零时，主特征值与主特征函数的极限行为。值得注意的是，这种极限行为可以反映部分退化系统主特征值存在与否的本质原因。

在微分方程的动力学研究中，特征值是一个非常重要的工具。本项目对部分扩散系数为零（部分退化）的合作反应扩散系统的主特征值问题进行研究，探索主特征值存在与否的本质原因。..由经典的Krein-Rutman定理可知非退化反应扩散系统的主特征值总是存在的。当所有扩散系数均趋于零时，主特征值的极限行为已经获得了清晰的刻画。本项目发现当部分扩散系数趋于零时，主特征值趋向于部分退化反应扩散系统对应算子的谱界。进一步还发现了对于空间一维两个方程耦合的系统，当第二个方程的扩散系数趋于零时，主特征函数的极限会出现三种不同的收敛现象。本研究既给出了非退化反应扩散系统主特征值在部分扩散系数趋于零时的渐近行为，又给出了一个新的角度看待部分退化反应扩散系统的主特征值问题。..研究过程中，还讨论了几个非常相关的问题，包括周期斑块模型的主特征值的极限行为、非局部扩散系统的谱界和主特征值问题。这些研究为本项目的开展既建立了直觉认知，又提供了一些可借鉴的思路。此外，还在抽象框架下讨论了基本再生数的极限行为与主特征值的极限行为之间的关系，从而可以直接利用主特征值的相关结果得到基本再生数的对应结果。..在本项目的资助下，截止目前共发表论文四篇，分别发表在中国科学（英文版）、SIAM J. Math. Anal.、SIAM J. Appl. Math.、Discrete Contin. Dyn. Syst. Ser. B上。