锥形电磁波入射无界随机粗糙表面散射与反散射问题的数学研究

This project aimed at the mathematical theory of scattering and inverse scattering problem for unbounded random rough surfaces with tapered electromagnetic wave incidence. By taking the exterior problem of Maxwell's equations which meet different boundary conditions on unbounded random boundary as the research object. Combining with stochastic analysis theory, mathematical theory of inverse problem and numerical method, the following specific issues are researched : 1) For the exterior problem of Maxwell's equations which meet different boundary conditions on unbounded random boundary, we will present a reasonable radiation condition by using the theory of stochastic analysis and electromagnetism; 2) The equivalent integral equations for the above exterior problem of Maxwell's equations are established. Based on the polynomial chaos expansions for stochastic process, stochastic collocation method is used to solve the problem; 3) In the framework of stochastic analysis, we will research the uniqueness of inverse scattering problem for unbounded random rough surfaces with tapered electromagnetic wave incidence, and study the Bayesian method and iterative method for the parameter inversion for the unbounded random rough surfaces. Through the theoretical analysis and numerical simulations, the internal rules of the interaction between the propagation of tapered electromagnetic wave and unbounded random rough surface are revealed.

本项目针对锥形电磁波入射无界随机粗糙表面散射与反散射数学理论问题, 以无界随机边界上满足不同类型边界条件的Maxwell方程组外问题为研究对象，拟结合随机分析理论、反问题数学理论和数值计算方法研究如下具体问题：1)利用随机分析与电磁学理论给出无界随机边界上满足不同类型边界条件的Maxwell方程组外问题合理的辐射条件； 2) 建立上述Maxwell方程组外问题的等价积分方程，基于随机过程多项式混沌展开，并利用随机配置方法进行数值求解；3) 在随机分析框架下研究锥形电磁波入射无界随机粗糙表面反散射问题的唯一性提法，并研究无界随机粗糙表面参数反演的贝叶斯方法和迭代方法。通过系统的理论分析和数值仿真研究，揭示锥形电磁波传播与无界随机粗糙表面之间相互作用的内在规律。

锥形波入射无界粗糙表面散射与反散射问题在科学研究和工程实际中，特别在地学遥感、目标识别、光学衍射等领域中有十分重要的应用。声波和电磁波的散射与反散射问题是现代科学领域中研究的热点问题之一。..本项目主要针对锥形波入射情形的不同性质的无界粗糙表面散射和反散射问题进行研究。首先，从模型问题出发，严格推导了锥形波入射情形的几类无界粗糙表面散射问题的相应积分方程。同时证明了锥形波入射无界阻抗粗糙表面散射问题与反散射问题的唯一性。然后，根据锥形波入射情形下相应积分方程的具体特点，研究了锥形入射波情形下完全导体(声软)以及阻抗边界条件下多尺度无界粗糙表面的反散射问题。具体工作如下: ..研究锥形波入射带有阻抗边界条件的无界粗糙表面散射问题与反散射问题。利用半平面阻抗格林函数推导出边界积分方程公式。我们证明了该边界积分方程在有界和连续函数空间中是唯一可解的，进一步，在对某些边界进行限制的条件下, 证明了散射场的阻抗边值问题有唯一解，同时也证明了一类粗糙表面在锥形入射波情况下可以由散射场的测量值唯一确定。在计算方法方面，利用多个频率的入射策略，研究锥形入射波情况下由散射场有相位数据及无相位数据重构多尺度声软无界粗糙表面和分形粗糙表面。我们证明了相应散射问题的F导数的存在性，并给出了相应的计算方法。为克服单频情况下问题的不适定性和非线性性，使用基于非线性目标函数伴随算子的Landweber正则化方法。当多频数据有效时，我们提出了使用在低频情况下测得的散射场数据得到大尺度粗糙表面的一个近似结果，所获得的近似结果作为一个递归线性化算法的初始猜测，用于捕获粗糙表面的小尺度结构。数值实验结果说明所提出方法的有效性.