锥形波入射无界粗糙表面与障碍复合散射与反散射问题的数学理论及算法研究

In this research project, we propose to investigate the mathematical theory and numerical algorithm for the composite scattering and inverse scattering from obstacles with the unbounded rough surface. By taking the coupled Maxwell's equations, which satisfy different types of boundary conditions on unbounded rough surfaces and obstacles as the research object. Combining with electromagnetic theory, mathematical theory of inverse problem and numerical method, the following specific issues are researched: 1) Using the angular spectrum representation radiation condition, the exterior problem model of coupled Maxwell's equations with different types of boundary conditions is established to describe the composite scattering problem from obstacles with the unbounded rough surface by tapered wave incidence; 2) The equivalent integral equations for the above model problems are established. According to the characteristics of the tapered wave incidence, the finite truncation of the integral operator is analyzed, and the well-posedness of the composite scattering problem is proved; 3) The concept of the difference field between the composite scattering from obstacles with the unbounded rough surface and the scattering from the unbounded rough surface is introduced mathematically. The difference field is considered as a functional of the shape of the obstacles (or other physical parameters). In the framework of nonlinear analysis, we will research the uniqueness of inverse scattering problem. A fast algorithm for the inverse scattering problem from the obstacles under the background of complex rough surface will be developed. Through the theoretical analysis and numerical simulations, the internal relationship between the structure of the obstacles and the distribution of the scattering field under the background of unbounded rough surface are revealed.

本项目致力于无界粗糙表面与障碍体复合散射与反散射问题的数学理论和计算方法研究。以无界粗糙表面及障碍体边界上满足不同类型边界条件的耦合麦克斯韦方程组为研究对象，拟结合电磁学理论、反问题数学理论和数值计算方法研究如下具体问题：1) 使用角谱展开辐射条件，建立满足不同类型边界条件的耦合麦克斯韦方程组外问题模型，描述锥形波入射无界粗糙表面与障碍体散射问题；2) 建立上述模型问题的等价积分方程，根据锥形波入射特点，开展积分算子的有限截断分析，证明复合散射问题的适定性；3) 从数学上引入粗糙表面--障碍体复合散射和粗糙表面散射差场的概念，将散射差场作为粗糙表面背景下障碍体形状（或其它物理参数）的泛函，在非线性分析的框架下研究反散射问题的唯一性提法和相关证明，发展复杂粗糙表面背景下的障碍体反散射问题的快速算法。通过系统的理论分析和数值计算，揭示无界粗糙表面背景下障碍体结构与散射场分布之间的内在规律。

无界粗糙表面与障碍复合散射问题，是指电磁波在不同介质中传播时，与介质交界面及介质中的障碍体相互作用，电磁波的传播性质发生变化的一类问题，例如粗糙地面、海面背景下的目标电磁散射。与其相应的反散射问题，是指根据粗糙表面与障碍复合散射的电磁场测量数据，重构粗糙表面或障碍体的形状、位置以及其它物理参数的问题。这类问题作为极具理论意义和实际应用背景的课题，在遥感，无损检测，地球物理，以及国防军事等众多领域都有重要的应用。..申请人与合作者研究了复杂粗糙背景下障碍体电磁散射和反散射问题，针对Maxwell方程和Helmholtz方程，利用变分方法和积分方程算子理论证明了相关散射问题的适定性；结合正问题适定性及解在无穷远处的性质得到了反散射问题的唯一性，并证明了反问题求解的局部稳定性。在此基础上开展了数值计算方面的研究。利用积分算子的奇性分析建立了一类新的积分方程，设计了表面和目标复合散射问题数值求解方法，实现了对复合散射问题的有效数值计算。同时利用Time-reversal技巧研究了粗糙表面上方障碍体反演的直接成像方法，建立了一类能同时反演障碍体和粗糙表面的直接成像方法，并通过数值实验验证了算法的有效性。针对粗糙表面上方的三维Core-Shell结构复合散射问题开展了相应的研究工作。提出了一个新的边界积分方程组，将散射问题转化为边界积分方程系统，证明了散射问题的适定性。进一步提出了一种求解此问题的快速方法，并证明了算法的收敛性。..申请人与合作者还针对源于建筑物梁结构受热有关的一类三维逆时热传导问题、一类高雷诺数情况下流体中多涡合并问题以及手性介质中嵌入无限长的阻抗圆柱体的斜入射电磁波散射问题开展了研究，得到了相关正问题适定性和反问题唯一性理论结果或数值算法。项目组成员还研究了分数阶微分方程反问题和外Steklov特征值反问题。