带Poisson跳跃的随机泛函微分方程最优控制问题研究

The project is an intersect project of optimal control, stochastic analysis and partial differential equations, to study the optimal control problem of stochastic functional differential equation with Poisson jump and related path-dependent integro-partial differential equation. The project will mainly study the following problems: The linear-quadratic optimal control problem for stochastic functional differential equation with Poisson jump in finite-time and infinite-time horizon, to establish the solvability conditions of Riccati equation and then characterize the optimal control; The general dynamic programming principle of the optimal control problem for stochastic functional differential equation with Poisson jump, to prove that the value functional satisfies the path-dependent integro-partial differential equations (i.e., the path-dependent HJB equation) and establish the stochastic verification theorem; To study the existence and uniqueness of viscosity solution for the path-dependent HJB equation, and to study the optimal control problem of stochastic functional differential equation with Poisson jump and non-regular value functional, to obtain the law of optimal feedback control. The results of this project will not only improve the stochastic optimal control theory, but also accelerate the development of Path-dependent PDE theory.

本项目是最优控制、随机分析和偏微分方程的交叉课题，研究带Poisson跳跃的随机泛函微分方程最优控制及相关的路径依赖积分-偏微分方程。主要是：研究具有有限时区和无限时区的带Poisson跳跃的随机泛函微分方程线性二次最优控制问题，建立相应Riccati方程的可解性条件并给出最优控制的显示表达；研究带Poisson跳跃的随机泛函微分方程最优控制问题的一般动态规划原理，证明值函数满足路径依赖积分-偏微分方程（即路径依赖HJB方程），建立随机验证定理；研究上述路径依赖HJB方程粘性解的存在唯一性，并将理论结果用于研究具有非光滑值函数的带Poisson跳跃的随机泛函微分方程最优控制问题,得到最优反馈控制律。本项目的研究结果不但能推动随机最优控制理论本身的发展，也会促进路径依赖偏微分方程理论的进步。

1. 项目背景. 随机微分方程最优控制是目前国内外的重要研究课题，它是一门涉及分析、代数和几何等内容的高度交叉综合性研究课题，不仅对于数学理论的发展具有推动作用，同时又对实际生产生活中的优化问题和数值分析提供的理论保证。虽然该研究领域在过去几十年取得了突破性的进展，但是对于带有Poisson跳跃的随机泛函微分方程最优控制问题的研究还非常少，这类问题能够更加准确刻画自然界乃至工业界出现的诸多现象。因此对具有较强背景的带Poisson跳跃的随机泛函微分方程最优控制问题以及相关的路径依赖HJB方程进行深入研究无疑是一项具有重要科学意义和实际应用价值的研究。..2. 主要研究内容 . （1）研究带Poisson跳跃的随机泛函微分方程在有限时区和无限时区内的线性二次最优控制问题，建立相应Riccati方程的可解性条件，给出最优控制的显示表达。. （2）研究带Poisson跳跃的随机泛函微分方程最优控制问题的一般动态规划原理，提出相关的路径依赖积分-偏微分方程（即路径依赖HJB方程）并建立随机验证定理。. （3）研究上面路径依赖积分-偏微分方程的粘性解理论，建立粘性解的存在唯一性定理，在非光滑值函数情形下研究Poisson跳跃的随机泛函微分方程最优控制问题。..3. 重要结果. （1）通过引入新的方法技巧，证明非等谱浅水波系统的整体适定性，该方法具有一般性；. （2）研究了一类生物捕食种群模型的最优控制问题，得到了二阶必要条件；. （3）研究了旋转Camassa-Holm方程解映射的连续性，证明其Holder连续性，取得重要进展；. （4）证明了不可压缩大气切片模型在随机环境中的整体适定性，非平凡改进了已有的局部结果。..4. 科学意义. 目前，国内外关于随机泛函微分方程最优控制问题尤其是路径依赖偏微分方程的研究尚处于初级阶段，有很多理论与应用亟待弥补和进一步发展。这些问题是一些最基本而又困难的前沿问题，对它们进行系统深入的研究，必定会推动随机泛函微分方程最优控制和路径依赖偏微分方程的研究，为由带Poisson跳跃的随机泛函微分方程描述的实际模型的最优控制问题奠定应用理论基础。