不规则代数簇的二典范映射

Claissifying algebraic varieties and studying their geometry are two of the main tasks in algebraic geometry. We intend to study the bicanonical maps of the varieties of maximal Albanese dimension and of general type. Assuming in addition that X is primitive, Barja etc. recently proved that: when q(X)>dim(X) and its bicanonical map is non-birational, then it is birational to a Theta divisor of a simple Abelian variety. We intend to study the case when q(X)=dim(X), and when X is a surface, it is completely clear now. What''s more, we will also try to study the bicanonical maps of non-primitive varieties, and hope to get some special fibrations on those with non-birational bicanonical maps.

对代数簇分类以及研究它们的几何性质是代数几何的重要任务。不规则代数簇是特殊而且重要的一类代数簇。本项目拟研究具有极大Albanese 维数的一般型代数簇的二典范映射。对于一般型本原不规则代数簇，最近Barja 等人证明：如果满足q(X)>dim(X)并且它的二典范映射不是双有理的，那么它双有理等价于一个简单的阿贝尔簇的Theta 除子。本项目将研究q(X)=dim（X）的本原簇的二典范映射，此问题在曲面情形已经完全清楚。本项目还将研究非本原不规则代数簇的二典范映射，类比曲面的结果，我们希望能在具有非双有二典范映射的代数簇上得到一些特殊的纤维化。

不规则代数簇是代数几何的重要研究对象，本项目研究了一般型不规则代数簇的二典范映射，并且取得显著的进展。（1）申请人研究了阿贝尔簇上射影丛上的线性系，推广了阿贝尔簇上线性系的一个经典的结果，这类结果在研究二典范映射时起了重要的作用；（2）申请人着重考察了本原簇的二典范映射，推广了曲面的二典范映射的结果，当Albanese簇是简单的时候，证明了如果二典范映射不是双有理的，那么典范层的欧拉数一定是1，并且对二典范映射的映射度有一个刻画；（3）作为研究工具的一个副产品，申请人和合作者研究了不规则代数簇的自同构群，证明了本原簇的自同构群在上同调上作用是忠实的。