基于组合设计的t-重幻方的构造及应用研究

Magic square is the important research object of combinatorial designs, it has been used in quantum information, digital halftoning, encryption technology, etc. Recently, we have established the relationship between large set of orthogonal arrays and t-multimagic squares. We wish to fully use the combinatorial designs such as orthogonal Latin squares, large sets of orthogonal arrays and magic pair of orthogonal blanced squares to research the following problems: (1)the constructions of symmetrical pandiagonal elementary magic squares;(2)the existence spectrum of bimagic squares; (3)the general constructions of t-multimagic squares;(4) the constructions of pandiagonal t-multimagic squares;(5) the constructions of related t-multimagic rectangles. We wish to get some construction methods and results which are of the theoretically importance in combinatorial designs. Consequently, it perfects the theory system of magic square research. Further, we explore the theory and practical application of t-multimagic squares and the related combinatorial designs.

幻方是组合设计的重要研究对象，在量子信息、数字图像、加密和认证等领域有应用。t-重幻方是幻方理论研究的重要课题。最近，我们建立了正交表大集和t-重幻方的联系。项目组拟充分利用组合设计中的正交拉丁方、正交表大集、正交平衡方幻对等工具，对以下问题展开系统和深入的研究：（1）对称泛对角基本幻方的构造；（2）平方幻方的存在谱；（3）t-重幻方的一般构造；（4）泛对角t-重幻方的构造；（5）相关t-重幻矩的构造。希望得到t-重幻方的具有组合设计理论意义的构造方法和结果，完善幻方研究的理论体系, 并进一步探索t-重幻方以及相关组合设计的理论和实际应用。

本课题主要研究了t-重幻方的构造和存在性。引入了强对称弱泛对角正交拉丁方、正交表强双大集、正交表四重大集、杨辉型正交拉丁方等概念，建立了如下对象的联系：（1）强对称弱泛对角正交拉丁方和对称泛对角幻方；（2）正交表强双大集和t-重幻方；（3）正交表四重大集和泛对角t-重幻方；（4）杨辉型正交拉丁方和杨辉型t次和幻方；（5）各种幻矩（对称幻矩、t-重幻矩、稀疏幻矩等）和相应的幻方等. 得到了如下结果： .（1）完整解决了对称泛对角基本幻方的存在性；（2）推广了t-重幻方的乘积构造，并利用正交表强双大集和正交拉丁方等工具，得到了t-重幻方（包括平方幻方、三重幻方等）的新的类；（3）建立了基于正交表四重大集的泛对角t-重幻方的构造，得到了泛对角t-重幻方的新的类；（4）给出了基于杨辉型正交拉丁方的杨辉型t次和幻方的构造，完整解决了杨辉型2次和以及4次和幻方的存在性，得到了一般的杨辉型t次和幻方的新的类；（5）稀疏反幻方的构造方法和存在性，基本解决了各种密度的稀疏反幻方的存在性。.此外，课题组还研究了相关问题并得到了如下结果：（1）解决了3个相互近似正交拉丁方的存在性，基本解决了4个相互近似正交拉丁方的存在性；（2）研究了强对称自正交对角数独的构造，得到了一个完整的类；（3）超单纯设计的存在性问题，解决了区组长度为5、相遇指数为4的超单纯可分组设计的存在性, 解决了区组长度为3和4指数为2-6的超单纯成对平衡设计的存在性；（4）其他问题及相关应用。.综上，基本完成了课题预定的研究目标。