广义柯克曼方和t-设计的构造及其应用研究

This project will study some topics in the intersectional fields of combinatorial design theory, coding theory and cryptography. Such as generalized Kirkman squares and splitting t-designs, which are generalizations of Kirkman squares (GKS) and t-designs in design theory, respectively. These designs have tight connections with optimal doubly constant weight codes in coding theory and optimal splitting authentication codes in cryptography. This project plans to investigate the problems of constuctions and existence of these designs. Including mainly the following: (1)Constructions and existence of generalized Kirkman squares; application to constructions of optimal doubly constant weight codes and bounds improvement on the sizes of constant weight codes with some parameters; (2)Constructions and existence of splitting t-designs ; application to construct ion of optimal splitting authentication codes against spoofing attacks of higher order; performance analysis of the impersonation attack probability and substitutional attack probability; (3) Constructions and existence of generalised t-designs、block transitive t-designs and flag transitive t-designs; Giving constuctions of new t-designs by algebra method.

本项目拟对组合设计理论、编码理论和密码理论中交叉领域的课题进行研究。 如广义Kirkman 方（Generalizations of Kirkman Squares、GKS) 和分裂t-设计(Splitting t-Design)， 它们分别是设计理论中的Kirkman 方和t-设计的推广。 这些设计与编码理论中最优双重常重量码和密码理论中的最优分裂认证码有着紧密联系。主要研究这项设计的构造、存在性以及应用，包括下列问题： （1）广义Kirkman 方的构造和存在性问题，应用其构造最优双重常重量码，改进某些参数的常重量码的码字容量的界； （2）分裂t-设计的构造和存在性问题，应用其构造抗高价欺骗攻击的分裂认证码及其码的模拟攻击概率和替换攻击概率的性能分析； （3）广义t-设计、区组传递t-设计和旗传递t-设计的构造和存在性问题,利用代数方法给出新的t-设计的构造。

本项目主要研究了以下内容：.1.广义Kirkman 方及其相关设计如Frame，GDD等；.2.常重量码、光正交码、循环码及其密码加密方案；.3.区组传递设计和旗传递设计和图的关系，及其某些图的刻画；.4.其它问题，比如图的标号，循环设计存在性问题等。.几乎完全解决了GKS_3(4u;1;1;2(u-1))和GKS_3(6u;1;1;3(u-1))的存在性问题；得到了GKS_3(2,v）一些完全类；建立了双重（准）可分解4圈系的谱系；几乎完全解决了ICKPD(u,v) 的存在性；改进了Frame 和组型不一致的4-GDD以及可分解4-GDD的存在性结果；得到了常重量码复合码、双重重量的常重量码、常重量和变重量光正交码类；用广义分园类构作了一些新的循环码；给出了一些在线和离线密码加密方案；建立了边-可迁图IG(v,b)(D) 和旗-可迁2-设计D的等价性；基于谱半径、Wiener 指数或Harary 指数建立了一些图的充分条件；解决了一些极值图的存在性；另外建立了循环和1-旋转风筝图、太阳图的谱系；解决了一些边-多重路替换图的标号问题。..本项目共完成论文30篇，27篇已发表，其中SCI 源刊 16篇，1篇会议论文被EI 收录，国内核心期刊6篇。本项目培养硕士生7人，5人毕业，全部获得硕士学位。培养青.年教师4人从事组合数学及其应用研究。