关于算术级数中连续项乘积的丢番图方程

In this project we will employ the theory of Pell's equation, structured approach and the theory of elliptic curve to investigate the Diophantine equations about the product of consecutive terms in arithmetic progressions. We aim to explore how to express the product of many disjoint blocks of consecutive terms in arithmetic progressions as a square, study the infinity of the integer or rational solutions of related Diophantine equations, and consider expressions of the product of polynomials’ values on many disjoint blocks of consecutive terms in arithmetic progressions as a square, look for suitable polynomials such that the corresponding Diophantine equations have infinitely many integer or rational solutions. This project is characterized by catching up on the recent development of the problems and an extension to more general cases of the original ones. Our contribution is to apply the profound theory of elliptic curve to investigate the rational solutions of this class of Diophantine equations. Our main purpose is to raise more general questions and extend the research ideas of the original Diophantine equations.

本项目拟采用 Pell 方程的理论、构造法及椭圆曲线的理论来探索算术级数中连续项乘积满足的丢番图方程. 内容包括：研究算术级数中多个不相交的连续项乘积表为平方数，讨论相应丢番图方程的整数解或有理数解的无穷性；考虑多项式在算术级数中多个不相交的连续项上取值的乘积表为平方数，找出合适的多项式使得对应的丢番图方程有无穷多的整数解或有理数解. 特色是选题上紧跟问题的最新进展，考虑了原问题的一般情况；创新点是将椭圆曲线的深刻理论运用到此类丢番图方程的有理数解. 本项目旨在提出更一般的问题，拓宽原有丢番图方程的研究思路.

丢番图方程是数论的一个重要组成部分，椭圆曲线是代数几何的基本研究对象，椭圆曲线的理论在丢番图方程中的应用已成为数论的一个研究热点。 丢番图方程的问题和猜想很多，其中许多著名的数学家研究过与连续整数乘积有关的丢番图方程，如 Goldbach, Euler, Erdos 等。 近年来，关于算术级数中连续项乘积的丢番图方程也有许多的结论，而对算术级数中多个不相交的连续项乘积的丢番图方程的探讨还相对较少。.本项目首先研究了公差为 $d$ 的算术级数中 $n (n>1)$ 个不相交的两(三、四)个连续项乘积为平方数，得到了相应的丢番图方程有无穷多的正整数解。 然后，我们考虑了公差为 $d$ 的算术级数中 $2$ 个不相交的三(四)个连续项乘积为有理数的平方，证明了它们的有理数解构成的集合 $S(Q)$ 在集合 $S(R)$ 中是稠密性的。最后，我们研究了多项式 $f(x)$ 在公差为 $d$ 的算术级数中 $n (n>1)$ 个不相交的两个连续项上取值的乘积为平方数，得到了当 $n=3(或 n>=5), k=2, d>=2$ 为偶数, $f(x)=x(x+2d)$ 时，或当 $n=3(或 n>=5), k=2, d=3, f(x)=x(x+6)$ 时，对应丢番图方程有无穷多的正整数解；当 $n=2, k=2, d>=1, f(x)=x(x+b)，b>=1$ 时，对应丢番图方程有无穷多的有理数解。本项目所得的结论是以前研究的进一步探索，为后续研究奠定了基础。