抛物Anderson模型解的极限性质研究

The parabolic Anderson model (PAM) is derived from the description of physical phenomena and has important applications in many other directions. At present, the study of the long term asymptotic behavior of the solution becomes a new research direction in probability theory. In this project, we use the probability limit theory, stochastic partial differential equation, random matrix, extreme value theory, Fourier analysis and other related tools to study the long term asymptotic behavior of solutions of parabolic Anderson model. In particular, we shall study : (a) the existence, uniqueness, continuity for the mild solutions and weak solutions under different potentials, (b) the distributional properties for the solutions of the models, (c) the precise moment Lyapunov exponent for the solutions of the fractional Parabolic Anderson Model , (d) the limit theorems such as precise asymptotics, law of the iterated logarithm of the model’s solutions.

抛物Anderson模型（PAM）源于对物理现象的描述，在许多其它方向有重要应用。目前研究其解的长时渐近性质成为概率论中的一个新的研究方向。本项目拟利用概率极限理论、随机偏微分方程、随机矩阵、极值理论、傅里叶分析等相关工具研究抛物Anderson模型解的各种长时渐近性质。主要研究内容包括：(a) 各种随机势函数下PAM解存在性、唯一性、连续性等性质； (b) PAM解的分布性质； (c) 分数抛物Anderson模型解的李雅普诺夫指数矩的渐近性质；(d) PAM解的精确渐近性、重对数律等极限定理。

抛物Anderson模型(简称PAM)是一类随机抛物偏微分方程, 此模型最早是由诺贝尔物理学奖得主Anderson于1958年提出用来刻画电子在半导体中运动的。PAM之所以引起众多学者的研究兴趣，一方面是由于此模型的物理背景深刻，在动力学和种群动态等领域有广泛应用，且是刻画物理现象“间歇性(intermittency)”最简单的模型。另一方面是由于抛物Anderson模型和其它经典的随机微分方程和随机模型等有密切的联系，例如KPZ方程、Burgers方程，stepping stone模型、super random walk、catalytic branching模型等。此外，PAM解的极限分布与随机矩阵理论中的Tracy-Widom分布有密切的联系. 本项目对PAM解的极限性质进行了初步研究，包括解的存在性、解的分布性质、李雅普诺夫指数矩的渐近性质、以及解的其它极限性质，包括精确渐近性、大数定律、重对数律、几乎处处中心极限定理等。通过本项目组成员的共同努力,在四年内发表论文16篇,其中SCI论文13篇,另外目前接受SCI论文5篇, 毕业博士生5名，硕士生10名，圆满完成了预期研究目标. 取得的主要研究成果如下: 得到了方程解的几乎处处中心极限定理和重对数律, 混合相依序列的重对数律，自正则和的几乎处处中心极限定理，误差核密度估计的重对数律和Berry-Esseen界，分支过程的中偏差原理，自正则线性过程的极限定理，次线性期望下线性过程的中心极限定理和重对数律，经验谱分布的极限性质，样本相关阵的极限性质。