求解对流扩散方程的全离散间断有限元方法

Discontinuous Galerkin (DG) finite element method has been applied widely for the numerical simulations for convection diffusion equations. In this proposal, we will carry out a series of deep studies on the error estimates for many fully discrete DG algorithms, to solve the convection-diffusion equations in one and two space dimensions. Many time-marchings are considered in this proposal, for example, the multilevel algorithm, the semi-implicit Runge-Kutta algorithms and so on. Starting from the global error estimates in energy norm, we will also consider the superconvergence and the local analysis for the fully discrete DG methods. Furthermore, we will consider the operator-splitting DG methods for two-dimensional problems also. The main issue considered in this proposal is the careful treatment on the boundary condition at each stage time level of fully discrete DG methods, in order to avoid the reduction of accurary order. These studies will develop the theory study of DG methods, and help the study in the fields of slope limiters and adaptive implementations.

间断有限元（DG）方法是目前广泛应用于对流扩散问题的数值方法之一。本申请项目计划以一维和二维对流扩散问题为研究对象，开展一系列的全离散DG格式误差分析。具体研究内容包括各种不同时间推进方式与DG空间离散相结合的全离散DG格式，譬如时间方向采用多步法推进，或者半隐半显的Runge-Kutta方法推进等。本项目还计划开展全离散DG格式的超收敛分析和局部分析，以及求解二维对流扩散问题的算子分裂DG算法。我们将重点研究全离散DG格式中各个时间层的边界条件处理技术，以避免数值精度的损失。本项目研究工作具有鲜明的理论价值和应用前景，为斜率限制器和自适应算法的研究提供理论上的保障，促进DG方法的理论研究进展。

间断有限元（DG）或局部间断有限元（LDG）方法是应用广泛的数值方法之一。本项目以一维和二维的对流扩散问题为主要研究对象，基于显式Runge-Kutta（RK）方法和半隐半显的RK方法等时间离散技术，建立了全离散DG或LDG方法的最佳误差估计。对于Dirichlet边界条件，我们给出了三阶显式RK方法的中间层边界条件设置技术，避免了精度阶的损失。半隐半显RK方法是无条件稳定的方法，可以有效提高扩散占优问题的时间推进效率。我们不仅考虑了整体的光滑解，而且还考虑了线性双曲方程和奇异摄动问题的非光滑解，分别给出了相应的整体或者局部误差估计结果。于此同时，关于数值通量的理论研究也取得不错的进展。研究结果发表在国内外著名期刊，获得国内外同行的关注和好评。本项目具有鲜明的理论价值和应用前景，促进了DG或LDG方法的发展。