三维流形自同胚的不动点及不动子群

Fixed point theory is a significant topic in topology,and is closely related to geometric group theory. For selfmaps of hyperbolic surfaces and graphs, some bounds involving the rank and the index of fixed point classes were given. One consequence was a rank bound for fixed subgroups of surface group endomorphisms, similar to the Bestvina-Handel bound (originally known as the Scott conjecture) for free group automorphisms. We will study the fixed points and the fixed subgproups of self-homeomorphisms of closed orientable 3-manifolds which are either Haken or geometric in this program.

拓扑空间在自映射下的不动点问题是经典且富有内涵的课题，它与几何群论也有紧密的联系。图（有限一维复形）及曲面自映射的不动点类指数及不动子群秩的关系已经清楚，其不动子群秩的界也已给出。本项目拟对三维可几何化流形及Haken流形自同胚的不动点及不动子群进行研究。

本项目主要研究了三维流形自同胚的不动点及不动子群。1. 研究了双曲流形的自同胚。通过研究，对姜伯驹先生1998年提出的一个猜想在双曲流形的情形给出了一个肯定的回答：双曲流形自同胚的不动点类指数有界，并给出了界的一个具体刻画。2. 研究了Seifert流形的自同胚，证明了反定向自同胚的不动子群的秩有界：其界小于流形群秩的两倍。3. 研究了曲面群的不动子群。首先证明了：曲面群的任意一族自同态的不动子群的秩有界，其界不超过曲面群自身的秩；更进一步，证明了曲面群的任意一族自同态的不动子群是可压缩的。4. 研究了乘积群的不动子群，得到了与曲面群类似的结果。..本项目将Nielsen不动点理论与几何群论两个领域联系了起来，开创了一个新的研究方向。利用以上研究成果，发表SCI论文5篇，参加国际、国内会议多次并作报告3次。项目执行期间，举办国内会一次，邀请国内同行交流访问多次。