间断Galerkin有限元方法的局部误差估计

Discontinuous Galerkin (DG) method is one of hot numerical methods applying widely to the conservation laws and convection diffusion equations. In whatever the exact solution has a discontinuous jump and/or a transient layer with a huge gradient, the fully-discrete DG methods still give the satisfying numerical solutions. However, this advantage cannot be proved by the traditional error estimate on the whole domain. Hence, the local error estimate is needed. To do that, we will carry out in this proposal a series of studies on the local error estimates to the fully-discrete DG methods. We will show that the pollution error due to bad smoothness is only limited in a narrow region nearby the exact position. That is to say that, we will establish for different model equations the corresponding double-optimally local error estimates. Namely, the pollution region has the optimal width and the numerical error out of pollution region has the optimal order. The detailed studies are carried out for variant of time-marching methods and the general setting of numerical fluxes in the considered DG methods. These works will develop the theoretical studies of DG methods.

间断有限元方法是目前热门的数值方法之一，广泛应用于双曲守恒律方程和对流扩散问题。即使问题的真解具有间断界面或者大梯度变化的瞬变层时，全离散DG方法依旧会给出理想的数值结果。但是，传统的整体误差估计无法充分展示DG方法的数值优势，需要进行相应的局部误差估计。为此，本申请项将开展全离散DG格式的局部误差估计研究工作，说明间断界面或者瞬变层造成的数值污染仅仅局限于其准确位置附近的某个狭窄区域。我们的目标是，分别针对各种模型方程建立相应的双最优局部误差估计，即污染区域要具有最优的宽度，且位于污染区域之外的数值误差是丰满的。具体的研究内容还涉及到各种常见的时间推进方式和数值通量设置方式。本项目具有鲜明的理论价值和应用前景，将极大促进DG方法的深入发展。

本项目系统开展了间断有限元方法的理论分析和具体应用，取得的研究成果相对丰富，实现了原定的研究计划。主要内容和相应贡献有四点，具体如下：（1）以奇异摄动对流扩散方程为研究对象，建立了局部间断有限元方法的局部误差估计，即污染区域仅限于出流边界层附近的一个狭窄区域，污染区域之外的数值精度依旧达到相应的丰满阶；数值实验表明，污染区域的宽度也基本达到了理论最优；（2）系统开展局部间断有限元方法的半隐半显时间离散技术研究，研究对象涉及到Oseen方程、多孔介质不可压混溶驱替问题、含有四阶空间导数的偏微分方程和非线性扩散系数的对流扩散方程等多个问题。我们不仅给出相应格式的无条件稳定性和丰满阶误差估计，而且在数值计算效率和边界条件设置方面也给出了相应的解决方案；（3）以一阶线性双曲方程为研究对象，系统开展了RKDG格式的L2模稳定性分析。我们提出了简便易行的矩阵变换分析框架，可以利用停机指标和贡献指标快速判断RKDG格式的L2模稳定性表现。在此基础上，我们还建立了RKDG格式的L2模丰满阶误差估计以及超收敛结果。这些工作成功解决了多年来的一个遗留问题，具有较强的开创性和挑战性；（4）针对偏迎风型数值通量，建立间断有限元格式的最优误差估计，做到理论结果与数值经验的高度吻合，具体方程包含二维Sobolev方程和非线性双曲守恒律。总体来说，本项目的完成丰富了间断有限元方法的理论研究成果，在多个数值实现细节上准确展示了间断有限元方法的数值优势。