低维流形群及其子群结构

The study of low-dimensional manifold (means surfaces and 3-manifolds in this program) groups is of great interest in topology, because low-dimensional manifolds are determined by their fundamental groups usually. In this program, we will study several topics on low-dimensional manifold groups, such as the intersection of subgroups, inertia conjecture on fixed subgroups, retracts and so on. These topics relate to algebra, geometric group theory, topology, graph theory and Nielsen theory. Therefor, it is quite interesting and worthy of investigation.

低维流形（本文特指曲面和三维流形）的拓扑与几何结构在相当大程度上由其基本群决定。因此，对低维流形基本群结构的研究在低维拓扑中具有举足轻重的作用。本项目拟对低维流形群的子群之交、不动子群及收缩核等问题展开研究。这些问题不仅是几何群论与低维拓扑中一类重要问题，也是目前研究的热点之一，涉及现代数学的众多领域，具有较高的研究价值：一方面，由于低维流形在相当大程度上由其基本群所决定，因此对以上问题的研究，将有助于人们更好地理解低维流形；另一方面，几何群论中的不动子群与Nielsen不动点理论之间的关系也是值得进一步研究的课题之一。在技术上，本项目将综合运用代数、几何群论、拓扑、图论、Nielsen不动点理论等工具。

低维流形的拓扑与几何结构在相当大程度上由其基本群决定。本项目对低维流形的不动子群与不动点等问题进行了研究，基本上按照原定研究计划进行：1. 研究了自由群与曲面群的乘积群的不动子群的惯性猜想，对欧氏型的乘积群的不动子群何时是惯性的，给出了完整的解答；2. 研究了多面体自映射的不动点，证明了闭的负曲率黎曼流形的乘积的同伦等价有指数有限性质；3. 研究了图与曲面自映射的不动点与不动子群的联系。对在基本群上诱导单同态的图的自映射，对其每个不动点类，首先定义了一个新的同伦不变量，称为强特征，然后证明了对每个不动点类，其强特征等于指数。利用这一结果，一方面，我们对自由群的不动子群及不动无限字给出了新的刻画，并可以利用拓扑的方法来判定求解不动字；另一方面，得到了计算图自映射的不动点类指数的新的代数途径。