非线性不适定问题的非光滑解的若干数值方法研究

动力系统方法是求解非线性不适定问题的一个行之有效的方法。参数识别问题是动力系统理论中较为典型的问题。如果问题中待反演的参数是光滑的，连续的，动力系统方法反演的效果较好。在待反演的参数是不连续的，非光滑的情况下，甚至是待反演的结构异常时，原有的方法会造成反演失真。针对这类参数反演问题，可考虑水平集方法和全变分正则化方法。其中水平集方法对于分段的参数（如阶梯状的参数）反演效果较好；而全变分正则化方法对于边界存在尖角、突变、结构异常的问题，效果突出。因此，鉴于水平集方法和全变分方法各自具有的特性，基于动力系统模型，本项目提出了水平集-动力系统方法和全变分-动力系统方法反演不连续参数，并利用动力系统理论中的Lyapunov稳定性理论研究所提方法的稳定性，给出收敛率。本项目的开展是对求解非线性反问题的动力系统方法的有效补充和完善。

为了克服传统方法不能有效反演不连续解的弊端，本项目基于动力系统模型，将水平集技巧和全变分方法分别引入动力系统中，构造出水平集—动力系统方法和全变分—动力系统方法反演不连续参数。. 参数识别问题一直是理论上，特别是实际应用中引人关注的焦点问题。正如项目申请书中所言，如果待反演的参数是不连续的，非光滑的，甚至是边界是带有尖角的、结构异常的，原有的正则化方法可能会模糊了参数本身的间断性，造成反演失真。本项目基于Sobolev空间中正演偏微分方程的可解性和稳定性，首先提出了识别非线性抛物分布式参数的水平集—动力系统方法。当方法满足一定的停止法则时，利用水平集本身具有的性质，用Lyapunov稳定性理论分情况讨论了水平集—动力系统方法的收敛性。并通过具体算例，验证了水平集—动力系统方法识别分布式参数的实际效用。. 随后，类似于Runge-Kutta型迭代方法，引入Bregman距离，构造了Runge-Kutta型全变分正则化方法反演非光滑参数。给出正则化参数的选取标准，在恰当的停止准则下，分析R-K型全变分正则化方法的收敛性，并证明其稳定。最后通过两个具体的数值算例验证方法的可行性。（《Runge-Kutta type total variation regularization for nonlinear inverse problems》状态：已投 under-review。）. 此外，水平集方法中导数的计算量在整个运算过程中占据较大比重，造成问题求解困难。且源条件及非线性算子的Fréchet导数在实际中很难得到合理的解释，因此，引入Philipp提出的无导数的思想，提出修正的水平集—动力系统方法。该部分研究内容正在进行中。