单位球上带有奇点的Navier-Stokes方程的齐次解

The incompressible Navier-Stokes equations, as a fundamental system to describe the motion of viscous fluid, are constantly a hot spot in the theoretical study of nonlinear partial differential equations. This project refers to the regularity of solutions of the incompressible Navier-Stokes equations, which is well-known as one of the Millennium Prize Problems. Based on our previous research, we plan to further investigate the homogeneous solutions of the Navier-Stokes equations in this project. The problems include: the existence of non-axisymmetric homogeneous solutions, the description of the singular force in distributional sense, asymptotic stability of singular solutions, the well-posedness of non-axisymmetric homogeneous solutions with singularity in half space, the full expansion of homogeneous solutions near singular point and the vanishing viscosity limit of homogeneous solutions with swirl. Hope we can make some progress on these topics, hence deepen the understanding on the regularity of the incompressible Navier-Stokes equations, in particular on the local behavior near the singularities and large time behavior of the solutions.

不可压缩Navier-Stokes方程是流体力学中描述粘性流体运动的基本方程，关于它的数学理论研究一直是非线性偏微分方程领域的一个焦点。本项目的研究课题涉及不可压缩Navier-Stokes方程解的正则性这一千禧年问题，拟在项目组成员前期研究工作的基础上，进一步研究不可压缩Navier-Stokes方程的齐次解，主要内容包括非轴对称齐次解的存在性，解在分布意义下奇性外力的数学表达，奇性解的时间渐进稳定性，半空间上带有奇点的非轴对称齐次解的适定性，齐次解在奇点处的局部完全展开以及有旋齐次解的粘性消逝极限等问题。希望本项目在上述问题的研究中取得一些实质性的进展，从而加深对不可压缩Navier-Stokes方程正则性的理解，特别是对奇点附近的局部行为以及大时间行为的理解。

Navier-Stokes(NS)方程刻画了粘性流体的运动，是流体力学领域的基本方程之一，关于它的研究具有重要的工程应用和理论研究价值。相关课题是非线性偏微分方程领域的焦点之一。已完成如下内容的研究：.(1)轴对称齐次解的粘性消逝极限问题。主要结果：证明了在某些条件下，NS方程的齐次解收敛于欧拉方程的齐次解；在另一些条件下则会出现过渡层。将齐次解限制在单位球面上，对于单位球面上的任意纬度圆，存在一列NS方程的齐次解，在该纬度圆的上下两侧分别收敛于欧拉方程两个不同的齐次解。此外，还给出了收敛速度的估计。.(2)限制在单位球面上具有两个奇点的轴对称齐次解的存在性。主要结果：限制在单位球面上具有两个奇点的无旋轴对称齐次解可以与一族4参数的带边超曲面一一对应。利用隐函数定理证明在无旋解附近具有非零旋转速度分量的有旋解的存在性或不存在性。.(3)高维对称多连通区域上带有非齐次Dirichlet边界条件的NS方程解的存在性。一般的3维多连通区域上的上述问题仍然是公开的。我们考虑高维对称区域上的问题。主要结果：通过构造与已知边界条件具有相同通量的辅助函数，可将非齐次边界条件的通量集中到对称轴附近的任意小邻域内，进而证明了非齐次Dirichlet问题解的存在性。.(4)锥形区域上轴对称齐次解的存在性。Serrin利用NS方程在三维上半空间具有奇性的轴对称齐次解刻画飓风的运动。将上述成果推广到一般的锥形区域上。主要结果：给出了在锥形区域上满足齐次Dirichlet边值条件的所有轴对称齐次解存在的充分和必要条件；刻画了三种可能的解的形态。.以上结果丰富了NS方程相关的数学理论成果，特别是增强了对NS方程齐次解的理解，期望齐次解的相关理论可以为NS方程解的正则性研究带来益处。