多值随机微分方程的逼近

The research of approximations of multivalued stochastic differential equations is a new direction of stochastic analysis developed in recent years. Through Yosida approximations and Skorohod problem and use some results of singlevalued stochastic differential equations and multivalue stochatic differential equations, we will study some properties of Euler approximations 、Wong-Zakai approximations and general approximations of multivalued stochastic differential equations. First of all, we will investigate strong convergence rate and weak convergence rate of Euler approximations of multivalued stochastic differential equations. Secondly, we shall study strong convergence rate of Wong-Zakai approximations and general approximations of stochastic differential equations with reflecting boundary conditions. Finally, we will try to present strong convergence rate of Euler approximations、Wong-Zakai approximations and general approximations of multivalued stochastic differential equations driven by fractional Brownian motion. The success of this project will greatly promote the research and application of approximations of multivalued stochastic differential equations and effectively enrich the theoretical system for multivalued stochastic differential equations.

多值随机微分方程的逼近的研究是近年来随机分析领域新兴的一个方向。本项目将通过Yosida逼近与Skorohod问题，利用单值随机微分方程与多值随机微分方程的一些结果，研究多值随机微分方程的欧拉折线逼近、Wong-Zakai逼近以及一般的逼近的一些性质。首先，本项目将考察多值随机微分方程的欧拉折线逼近的强收敛速度与弱收敛速度以及带跳的多值随机微分方程的欧拉折线逼近的强收敛速度。其次，本项目将研究连续与带跳的带反射边界条件的随机微分方程的Wong-Zakai逼近与一般的逼近的强收敛速度。再次，本项目将讨论由分数布朗运动驱动的多值随机微分方程的欧拉折线逼近、Wong-Zakai逼近以及一般的逼近的强收敛速度。本项目的顺利开展将对多值随机微分方程的逼近的理论研究和应用研究起到极大的推进作用，能够有效地丰富多值随机微分方程的理论体系。

随机微分方程和随机偏微分方程是现代概率论和随机分析的重要的研究领域之一，它与流体力学、量子场论、统计物理、动态规划、计算数学、生物数学、随机控制、数理金融学、滤波及气象预测预报等众多领域有着深刻的联系，并在这些领域中获得了广泛的应用。本项目研究了随机微分方程的数值逼近以及带跳的随机微分方程中的若干问题，对随机微分方程的理论研究和应用研究起到极大的推进作用，能够有效地丰富随机微分方程的理论体系。在本项目中，我们得到了有限维情形下的多值随机微分方程的不变测度的收敛；建立了右连左极扰动Skorohod问题的解的存在性，作为一个应用，我们得到了扰动反射扩散过程的存在性与唯一性；研究了布朗运动驱动的多值随机微分方程的theta方法，并且得到了它的强收敛速度；利用由Bouleau与Denis创立的借粒子方法，我们给出了Poisson随机测度驱动的随机微分方程的一个新的Bismut–Elworthy–Li型的梯度公式；基于同样的借粒子方法，在某些Hörmander条件下，我们讨论了带跳的随机微分方程的分布的正则性；证明了Khasminskii型条件下的随机延迟微分方程的theta方法的几乎必然指数稳定性。在本项目的支持下，申请人及项目组成员完成了SCI收录的论文5篇，CSCD收录的论文2篇，出版了一部与多值随机微分方程相关的学术专著，期间招收了3名硕士在读，为他们的研究提供了支持，同时还邀请了国内知名学者访问4次，举办了workshop和小型会议各1次，扩大了在学术界的影响。