随机微分方程的逼近

随机微分方程的逼近误差有两类：强逼近和弱逼近。强逼近度量的是轨道的误差，适用于滤波、检验估计等问题，其证明的关键工具是Gronwall不等式；弱逼近度量的是分布的误差，适用于金融衍生证券的价格、矩估计、风险度量、期望效用、随机微分方程的Lyapunov 指数等问题，其证明的主要步骤是利用Feynman-Kac公式将随机微分方程解的泛函的期望表示为一椭圆偏微分方程（亦即Kolmogorov方程）的解，然后用Ito公式改写误差来估计，关键是要利用到解的适应性和马氏性，并要求方程的系数光滑、试验函数满足一定的正则性条件。本项目将对通常方法不再适用的几类方程研究它们的逼近问题，将着重研究圆环同胚群上扩散过程的强逼近，多值随机微分方程的逼近，非光滑系数随机微分方程的弱逼近，分数噪声驱动的随机微分方程的逼近，随机偏微分方程的弱逼近。

通过本项目的实施，我们主要研究了下面几类随机微分方程的逼近问题。研究了圆环同胚群上扩散过程的逼近，在非光滑系数条件下得到了Euler逼近在几乎处处收敛意义下的收敛速度；研究了不连续系数随机微分方程的Wong-Zakai逼近，证明了非光滑系数随机微分方程和Fokker–Planck方程的适定性。研究了分数噪声驱动的随机微分方程爆破时的逼近问题；研究了非高斯Levy过程驱动的耦合随机微分方程的逼近，证明了当系数参数趋于无穷大时耦合系统的解收敛于相应Marcus方程的解，也证明了耦合系统的cocycle性质、平稳轨道、随机吸引子的存在性；研究了非高斯Levy噪声对肿瘤生长模型的量化影响，也模拟了这些量化指标以及出现分叉现象与参数的依赖关系。研究了两尺度随机偏微分系统的平均原理，证明了系统的慢变量在均方收敛以及一致L^p收敛意义下收敛于其约化方程的解；研究了由随机偏微分方程和随机常微分方程耦合系统的逼近性质，以及多尺度随机偏微分方程不变流形的存在性；研究了非光滑系数的多值随机微分方程的大偏差原理，转换原理和支撑定理，得到了非Lipschitz条件下一维多值随机随机微分方程解的存在唯一性，连续模和Denjoy渐近连续性。