带多值算子的随机微分方程和HJB方程

This proposal is concerned with stochastic differential equations and HJB equations involving multivalued maximal monotone operators, which include set-valued operators of high singularity. In this project we will emphasize on the combination of analytic methods and stochastic methods in our research.We will study the following problems: (1) the viscosity theory of second order HJB equations involving multivalued maximal monotone operators by using Perron's method; (2) providing a stochastic representation for viscosity solutions of multivalued partial differential equations via backward multivalued stochastic differential equations; (3) the asymptotic properties and stability of PDE systems perturbed with small random noises; (4) ergodicity problem and infinisimal generator of solutions to multivalued stochastic differential equations, and the corresponding Kolmogorov equations; (5)numerical schemes for multivalued stochastic differential equations; (6) extended Skorohod reflection problems in domains with moving boundaries.

本项目研究带多值极大单调算子的随机微分方程和HJB方程，即在一般随机微分方程和偏微分方程上增加了高度奇异的集值算子的方程。我们拟用随机结合分析的方法研究以下几个问题:（1）用Perron方法证明带多值算子的二阶HJB方程粘性解的存在性和唯一性；（2）通过解多值倒向随机微分方程对偏微分方程的粘性解给出概率表示；（3）利用多值随机微分方程的大偏差原理研究受随机扰动的多值偏微分系统的渐近性质和稳定性；（4）多值随机微分方程解的遍历性问题和生成元算子，以及相关的Kolmogorov方程；（5）多值随机微分方程的数值逼近问题；（6）具有移动边界区域内的Skorohod反射问题。

多值随机方程被用来描述诸多随机模型，包括：凸区域内带有反射边界的随机微分方程，随机变分不等式，滞后扩散方程和带互斥作用的Brown粒系统等，是近年来随机分析领域的新兴方向。本项目研究多值随机微分方程的遍历性、大偏差原理及其应用、半鞅驱动情形的适定性和稳定性问题，和非光滑非凸区域内反射随机微分方程的渐近连续性和支集问题等。. 通过项目的执行，我们在多值随机微分方程方面研究了受小参数扰动的随机系统的稳定性问题，建立了一般形式的大偏差原理，并将结果应用于重对数律问题上，给出多值随机方程的泛函重对数律。其次，对Levy驱动的多值随机微分方程解过程建立了遍历性理论，在系数非Lipschitz 连续的条件下证明了解过程的强Feller性、不可约性和指数遍历性。另外利用带多值算子的非线性偏微分方程的粘性解理论，用分析的方法对受扰动的多值随机系统解决了稳定性问题。 对一般半鞅驱动的多值随机微分方程，得到了解的存在性、唯一性和稳定性。将多值随机微分方程的研究从连续情形推广到更一般的跳过程。. 在一般区域内的反射随机微分方程方面，我们研究了渐近连续性，并在连续空间和Holder连续空间上给出了其支集的确切表示，同时将结果应用于带边界条件偏微分方程的极大值原理问题上。. 这些结果对多值随机方程、反射随机方程和偏微分方程来说都具有很大的推动作用。