非线性微分包含的可控性问题及其应用

The controllability of nonlinear (linear) differential inclusions in Banach space is an important subject closely related to control theory and optimization theory. Because it is not only important to mathematics, especially nonlinear analysis itself, but also to the practical workers is urgent need, so that this subject has a strong vitality. .This project will focus on the controllability of nonlocal differential equations in finite-dimensional space,Hilbert space, and Banach space. In finite-dimensional space and Hilbert space, the language of operator theory is used to describe and characterize the sufficient and necessary conditions or sufficient condition of controllable system's precision controllable and approximate controllable; in Banach space, new methods and techniques are introduced, This paper studies the existence theory of the exact controllable solution and the approximate controllable solutions under the different initial value conditions of the nonlocal controllable system. The ergodic theorem and the asymptotic behavior of the solution, the controllability of fractional differential equations and the stability of solutions are studied in finite-dimensional space and Hilbert In space, we give a completely controllable and sufficient condition to solve the stability problem, the ergodic theorem and the asymptotic behavior of the solution. It is expected that the research in this field reaches the international advanced level in theory and in the application of cybernetics and optimization.

Banach空间上非线性（线性）微分包含的可控性问题是与控制理论和最优化理论紧密相关的重要课题。由于它不仅对数学特别是非线性分析本身具有重要意义，而且对实际工作者而言也是迫切需要的，从而使得这一学科具有了很强的生命力。.本项目将主要研究在有限维空间，Hilbert空间以及Banach空间上的非局部微分方程可控性问题。在有限维空间和Hilbert空间，用算子理论的语言来描述和刻画可控性系统的精确可控和近似可控的充要条件或者充分条件；在Banach空间，引入新的方法和技巧，研究非局部可控性系统在不同的初始值条件下的精确可控解和近似可控解的存在性理论和解的稳定性问题，遍历定理以及解的渐近行为；研究分数阶微分方程可控性问题以及解的稳定性问题，在有限维空间和Hilbert空间中给出完全可控的新的充要条件和解稳定性问题，遍历定理以及解的渐近行为。期望在这方面的研究在理论上和在控制论与最优化等方面的应用

抽象空间上非线性（线性）微分包含的可控性问题是与控制理论和最优化理论紧密相关的重要课题。由于实际应用问题的需要，特别是随着现代控制理论和最优化理论的快速发展，很多重要的相关问题的数学模型都是多值非线性微分方程。这方面的研究，导致微分方程、泛函分析、非光滑分析、集值分析等学科交叉结合，形成了微分包含这一新的重要分支。由于它不仅对数学特别是非线性分析本身具有重要意义，而且对实际工作者而言 也是迫切需要的，从而使得这一学科具有了很强的生命力。.本项目主要研究了Banach空间中分数阶发展方程的相关控制问题。主要的研究内容和成果有：（1）通过发展预解算子族理论和方法，研究了一类具有加权时滞初始条件的Riemann-Liouville分数阶发展模型。通过引入了加权时滞条件解决了分数阶时滞发展系统在零点处具有奇异性的困难。通过给出预解算子族的从属原理并结合解集的拓扑刻画来处理系统的逼近可控性，并且成功去掉了扰动项的Lipschitz连续性等重要条件。我们给出了相应发展系统解集的拓扑刻画，获得了扰动项失去Lipschitz连续性条件时该发展系统的逼近可控性。（2）研究了Hilbert空间中一簇预解算子的一致稳定性。利用预解理论和空间方法分别获得了预解算子族一致稳定的GGP型定理和弱L^p型定理，本质上推广了算子半群和预解算子的相应结论。研究了(b,l)-正则预解算子族的遍历性和强收敛性。首先利用一般算子理论和复的淘伯定理研究其Abel遍历和Cesaro遍历性。然后，通过构造新的算子值函数，结合柯西定理和黎曼-勒贝格引理，给出了有界(b,l)-正则预解算子族强稳定的充分条件。（3）我们给出了一种新的分数阶导算子的差分方法。并且得到了该离散化方法下的隐式差分格式的解的表达式，以及稳定性结果，解决了在Holder空间中的非齐次分数阶微分方程的适定性，极大正则性问题。