时滞发展型随机方程最优控制及其相关问题的研究

本项目是时滞偏微分方程、最优控制和随机分析的交叉课题，是基于随机偏微分方程和随机最优控制理论，定性研究时滞发展型随机方程最优控制及其相关问题。主要是：利用无穷维鞅和无界微分算子等知识，基于时滞发展型随机方程研究非线性Kolmogorov方程Mild解的存在唯一性，继而用于研究随机最优控制；利用倒向随机微分方程与随机分析理论研究具无限时区和Hilbert空间上时滞发展型随机方程最优控制的存在唯一性，克服时滞所带来的困难；对具Neumann边界条件的半线性随机抛物方程的边界最优控制问题建立Mild解存在与唯一的条件，给出最优控制的必要条件；建立倒向发展型随机方程最优控制的极大值原理和随机Dirichlet边界控制问题的一阶极大值原理，弥补这方面研究的不足；利用极大值原理研究具Dirichlet边界条件的倒向随机热方程线性二次最优控制问题，给出解存在与唯一的条件。

随机微分系统最优控制是具有挑战性的研究领域，是联系随机微分系统和控制系统研究到实际应用问题的一个重要方面。本项目： (1)得到了非线性Kolmogorov方程解的存在与唯一性，并成功用于解决随机发展最优控制问题；(2) 研究了半线性抛物方程随机边界最优控制问题，给出了最优控制存在的条件；(3)研究了2维Navier-Stockes方程最优控制问题，得到了最优控制的极大值原理；(4)研究了具噪声的Neumann边界控制的倒向随机热方程的最优控制问题, 得到了极大值原理；(5)研究了具非线性色散方程的最优控制问题，建立了一阶最优必要条件；(6)研究了一类具粘性弱色Benjamin-Bona-Mahony方程的最优控制问题，证明了最优控制的存在性；(7)研究了平均场完全耦合随机控制系统的极大值原理，得到了Pontryagin 型必要条件; (8)研究了具平均场奇异随机系统的近最优控制问题，建立了近最优的必要充分条件; (9)研究了具记忆耦合非线性波动方程的最优控制问题，建立了具状态约束最优解的最大值原理；(10)研究了一类捕食者和猎物的两竞争生态系统最优控制问题，建立了一阶最优必要条件和二阶最优必要充分条件；(11)研究了一类具SIS流行病反应-扩散模型反问题，建立了一阶最优必要条件；(12)研究了具耦合倒向随机控制系统的二阶Taylor展式；(13)得到了具非正则和退化系数Fokker-Planck方程L^p-解的存在惟一性，以及Fokker-Planck-Boltzmann方程的L^1解的存在惟一性; (14)研究了具外部噪声和随机挠动的Ginzburg-Landau方程弱解的存在惟一性，得到了弱L^1-解整体存在惟一性; (15)研究了带乘性噪声随机偏微分方程的Kolmogorov算子及其转移半群，得到了Fokker-Planck方程解的存在惟一性。