随机时滞微分代数系统最优控制若干问题研究

This project is a intersect project for stochastic analysis, optimal control and delay differential-Algebraic systems, Be based on stochastic delay systems and stochastic optimal control theory, to study some problems for optimal control of stochastic delay differential-algebraic systems(SDDAS). The project will mainly study the following several problems: Index criteria for the SDDAS arising from linear-quadratic optimal control problems, finite-time horizon and infinite-time horizon linear-quadratic optimal control problems for the SDDAS, to establish new theory and methodas well as to overcome the difficulty arising from delay; The necessary conditions of local minimun principle for optimal control problems subject to the SDDAS with index two, and to mak up the shortcoming; First-order approximations and necessary optimality conditions of optimal control problems for the SDDAS with higher index; The Hamilton-Jacobi-Bellman equation corresponding with optimal control problem for the SDDAS, to obtain the property and unicity of viscosity solution; Pontryagin maximum principle and mumerical method for the SDDAS with arbitrary index. The completion for this research contrent will help us to understand the influence for delay and stochastics to optimal control of differential-algebraic systems, and it is doubtless to widen and develop optimal control theory and its applications.

本项目是随机分析、最优控制和时滞微分代数系统的交叉课题，是基于随机时滞系统和随机最优控制理论，定性研究随机时滞微分代数系统（SDDAS）最优控制若干问题。主要是：研究SDDAS线性二次最优控制问题的指标准则，以及SDDAS具有限时区和无限时区线性二次最优控制问题，建立新的理论与方法，克服时滞所带来的困难；建立具指标2的SDDAS最优控制问题局部极小值原理的必要条件，弥补这方面研究的不足；研究具高指标的SDDAS最优控制问题一阶近似和必要最优条件；研究非线性SDDAS最优控制问题相对应的Hamilton-Jacobi-Bellman方程，继而得到其值函数性质和粘性解的惟一性；研究具任意指标的SDDAS的 Pontryagin最大值原理及其数值实现方法。本项目研究内容的实现将有助于了解随机和时滞对微分代数系统最优控制的影响，必将丰富最优控制理论及其应用。

本项目的研究给由随机时滞微分代数系统所描述的实际问题或模型的最优控制问题研究奠定了应用理论基础，并拓宽和延伸了时滞微分代数系统和随机最优控制理论的研究。本项目研究工作进展顺利，成果丰硕，发表SCI论文25篇，这些论文被引用39次，参与本项目研究学生中有6人博士毕业和4人硕士毕业，出站博士后2人，其取得的主要重要成果有：(1)在随机微分代数系统的Riccati方程解与最优控制方面：得到了具有限时区最优控制存在性条件与最优控制的显式表达式；得到了具马尔可夫跳跃参数的近似最优控制存在与最优控的显式表达式。(2)在随机时变微分代数系统最优控制方面：得到了系统的可解性条件，给出存在的最优控制表示，给出了数值仿真；研究了线性二次型最优控制，建立了纳什策略的存在性，并考虑了具状态、控制和外部干扰相关噪声的控制问题。(3)在随机时滞平均场最优控制问题方面：得到了具无限时区的部分信息最优控制的充分必要条件；得到了在非凸域下具部分信息的最优控制问题的充分必要条件；得到了具状态依赖时滞分系统的可控性和连续依赖性条件；在控制域非凸和值函数非光滑的情形下，得到了具部分信息平均场的时滞风险敏感控制问题随机极大值原理；研究了具时滞和噪声记忆的平均场跳跃扩散系统的随机最优控制问题，建立了离散时滞最优控制模型在部分信息下的最大值原理。(4)在生态系统最优控制方面：研究了实体肿瘤侵袭模型的最优控制问题，得到了受控系统弱解的存在唯一性条件、一阶必要最优性条件，并进行了数值仿真；研究了一类反应扩散生态系统的最优控制问题，得到了整体正强解的存在唯一性与一阶必要最优性条件、建立了二阶最优必要条件和局部最优控制的充分条件、给出了数值仿真；研究了具耦合集控制的害虫控制问题，得到了整体存在唯一性和一阶最优控制的存在性条件,给出了二阶最优性条件；得到了带logistic源的趋化系统全局有界弱解的存在性条件；得到了两种群的两类趋化竞争系统全局有界弱解的存在条件。