网格曲面上测地B样条曲线设计方法与迁移重用研究

曲面上的曲线设计在制造几何学、机器人路径规划和CAD/CAM等领域具有重要地位。项目将欧氏空间中的经典德布尔算法拓展到弯曲空间，形成与经典B样条曲线具有统一表示形式的、不依赖于网格参数化的曲面上自由曲线表达形式- - 测地B样条曲线。提出三角网格曲面上测地线的延长线概念和计算方法，采用测地误差几何补偿策略，进行测地B样条插值和交互设计方法研究，建立测地B样条曲线设计理论与方法，形成一种新的网格曲面上曲线的交互设计框架；提出以三角面片为度量单元的最小充分计算区域概念，研究曲面上点集的测地凸包子域的计算方法，使曲线生成计算量不依赖于父网格模型的规模，为测地B样条曲线的工程化应用提供支撑；基于离散微分算子，研究测地B样条曲线形状保持的几何属性表征与所需满足的充要条件，阐明测地B样条曲线形状保持性与对曲面形状适应性的协调机制，形成曲面上曲线的设计重用方法，为弯曲空间的形状设计与重用奠定基础。

曲面上的曲线设计在 CAD/CAM、制造几何学中扮演着越来越重要的角色，广泛应用于刀具轨迹生成、机器人路径规划、曲面求交、曲面分割等领域，以及柔性制品的交互设计系统，是曲面空间形状设计的基础。为解决流形曲面上的曲线设计问题，将欧氏空间中的德布尔算法拓展到曲面空间，提出测地B样条的概念，在一下几个方面进行了较为深入的研究：.1）提出一种离散化测地线延长线计算方法。以网格曲面的拓扑邻接关系为基础，其计算量仅与延长线所经过的三角面个数有关，而与网格模型的整体规模无关，因而算法效率高。以该算法为基础，拓展出经过给定源点和初始方向的离散化测地线生成方法。2）针对曲线迁移重用过程中存在兴趣区域交互选取的问题，提出角度约束路径算法。该算法的计算量仅与两顶点间的局部区域有关，时间复杂度方面优于Dijkstra最短路径法。3）提出一种在网格曲面上计算点到曲线最近距离的方法。将经典B样条曲线的节点插入算法拓展到曲面空间，把测地B样条曲线分解为分段Bézier曲线的组合，利用拓展德卡斯特里奥算法的中间结果计算曲线的导矢，以此为基础，将欧氏空间中计算点在曲线上正交投影点的算法拓展到曲面空间，给出曲面空间中计算点在曲线上正交投影点计算方法，点与其对应正交投影点之间的测地距离即为点到曲线的最短距离。4）借助于测地B样条的概念，提出一种流形网格曲面上曲线等距线的计算方法。首先采用节点插入技术将源曲线分解为分段Bezier曲线，并进行线性化逼近，通过曲线细分策略使其误差控制在给定的容差1之内；提出一种给定源点和初始方向的离散化测地线构造算法，以此算法为基础，按照顶点等距方法，获得源曲线的初始等距线；以初始等距线作为控制多边形并适当插入一些顶点，构造满足给定容差2的G1连续分段Bezier曲线作为源曲线的等距线。等距曲线的整体逼近误差由1和2之和构成，因而可以实现误差的全局控制。5）提出一种流形网格曲面上曲线几何变换方法，包括：将欧氏空间中的对称定义拓展到曲面空间，提出了广义镜像的概念并给出了算法实现；提出一种流形网格曲面上曲线阵列复制方法，达到曲线快速、高效设计重用的目的；进一步将曲线特征拓展到三维自由形状特征，提出网格曲面上自由形状特征的设计重用方法。6）提出一种利用重用前后曲线控制顶点的归一化测地极坐标，在参数空间内进行形状匹配的曲线形状保持性评价方法，具备平移、旋转和缩放不变性。