含奇点流持续动力学性质的研究

In this project, we will study the robustly dynamical properties of singular flows. We will focus on the robust properties of sectional hyperbolic flows containing singularity accumulated by recurrent orbits, and the properties of flows containing a singular chain class without non-trivial recurrent orbit in a robust way. Futhermore, we will study related problems of robust phenomenons for singular flows. For exmple, the chaotic of sectional hyperbolic robust attractors, the stability of robustly shadowable flows, and the local dynamics of singularty accumulated by recurrent orbits in a robust way. .The main difficulty involved in this problem is the phenomenon of accumulation of periodic orbits on singularities. This comes from the fact that every regular point determines a direction generated by the vector field, but a singularity does not. Most of the results for singular flows obtained so far are for low dimensions. Thus any new result for high dimensions is exciting.

流作为连续动力系统，因为其可能含有被回复轨道逼近的奇点，故而拥有与作为离散系统的微分同胚所不同的特有性质。含奇点流是近年来被关注研究的一个热点。本项目中，我们将主要研究含奇点流的持续动力学性质，重点在于研究截面双曲的含有被回复轨道逼近奇点（高维）流的持续动力学性质，以及当奇点所在链类持续不含有非平凡回复轨道时系统的性质。同时我们还将广泛探讨与含奇点流其他持续现象相关的问题。.在流中，奇点被回复轨道持续逼近时，由于结构上的差异，两者很难统一处理。这是流区别于微分同胚的一大特性，是十分重要且复杂的动力学现象，同时也是研究的困难所在。对含奇点流的普遍性理论研究起步不久，现有结果也大都集中在低维。另一方面，微分动力系统主要关心系统性质及其在扰动下的变化，持续性质是研究的重点。因此，对高维情形的含奇点流的持续动力学性质进行研究，是一个引人关注且具有挑战性的课题，任何普遍性结果都将具有重要的理论意义。

流是动力系统研究的一类重要对象，奇点作为连续动力系统所独有的特殊现象，具有与离散动力系统本质不同的性质，其研究手段也与离散系统有很大的不同。在本项目中，我们主要研究了含奇点流的持续性质，以及一些相关问题。我们证明了有奇星号流拓扑熵及测度熵的一些性质；给出了远离同宿分支的流的含奇点链传递类中周期轨道指标的一些刻画，同时给出了具有某些复杂性质流的一种简单构造；证明了含奇点流的持续轨道伪轨追踪性质与系统稳定性之间的关系。此外，我们将Pesin理论的部分内容引入含奇点流，并由此证明了相关的一些性质。我们也对系统物理测度的存在性进行了一些研究。目前已有10篇论文被Israel Journal of Mathematics、JDE、Transactions of AMS、International Mathematics Research Notices等期刊接收发表，另有5篇论文撰在写修改中。其中一些研究结果具有一定的普遍意义，所使用的研究手法也可以用在对其他相关问题的研究中。