牙种植技术中的多参数识别问题的计算方法

The critical point for success or failure of dental planting technology is the growth of dental implant-bone interfacial tissue. However, healing and growth situation of the tissue cannot be observed directly by existing imagining systems. Thus, it is imperative to develop an effective regularization method to determine properties of the tissue. Mathematically, it can be modelled as a multi-parameter identification problem of partial differential equations with multi-layer media. It is also a nonlinear ill-posed problem, which means that small perturbations of measurement values on special points will induce a huge error to computed results. Consequently, traditional optimization methods are not applicable. In this project, the uniqueness of the given problem will be investigated by resorting to Dirichlet-Neumamn mapping. Furthermore, based on a generalized pulse spectrum technique, meshless methods, such as smoothing finite element and smoothing PIM, can be used to propose an efficient and stable numerical method.

在临床中，牙种植技术成败的关键在于骨骼和牙种植体结合面的组织生长。而现有的成像系统不能给出骨组织的愈合以及生长情况，所以发展有效的正则化方法确定牙植体结合面组织材料的性质在牙种植技术中非常重要。这个问题本质上是一个多层介质偏微分方程组的多参数识别问题，是一个非线性反问题。该问题也是一个非线性的不适定问题，即测量数据一个小的扰动就会导致计算结果的巨大误差。因此，传统的最优化方法不能直接用于该问题的求解。本项目将利用Dirichlet-Neumann映射方法解决多层介质参数识别的唯一性问题。同时，在广义脉冲谱方法的基础上，利用光滑有限元、光滑PIM等无网格方法构造有效、稳定的计算方法。

本项目主要研究牙种植技术中多参数识别问题的计算方法。该问题本质上是一个典型的多层介质非线性多参数识别问题。本项目采用了多种数值方法来研究该数学模型中存在的正、反问题，如有限元(FEM)、光滑有限元(S-FEM)、光滑点插值法(S-PIM)、有限块体法(FBM)、修正的基本解法(MFS)、配置Trefftz方法和积分方程法等。通过数值试验发现光滑有限元和有限块体法能够高效稳定的处理多层介质反问题。此外，由于现有的成像系统分辨率较低，不能给出牙种植体界面处组织愈合以及生长情况。因此，本项目提出一种新的基于FFT的正成像方法来提高成像分辨率，进而重构牙种植体周围的情况，并判断骨组织的愈合以及生长情况。我们考虑采用时谐平面波进行照射牙种植体来获得其散色数据以重构牙种植体周围组织的生长情况，这是一个多层介质反障碍物散射问题。这类问题具有许多实际的重要应用，如水下水雷的探测，医学成像等。该提高分辨率的技术使得牙医们能够更加准确的了解牙种植体周围组织的愈合以及生长情况，对提高医疗手段具有极大的意义。